Applicazioni lineari ed Im(f)
Buona sera! Avviso che questo è il mio primo post in un forum, quindi mi scuso anticipatamente per eventuali figuracce 
Sono andata a ricevimento più volte dalla mia prof.ssa ma sono ancora piena di dubbi!
L'esercizio è il seguente:
Data f: R3 -> R3 t.c.
$ f = (x_1, x_2, x_3) = (x_1+x_2, 0, 2x_1-x_3) $
Determinare
1) l'immagine di (2, -1, 3)
2) il punto (2, 0, 2) appartiene a Im(f)
Innanzitutto, prima cosa da fare per risolvere questo esercizio è determinare la matrice associata all'applicazione, che è:
$ {: ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 2 , 0 , -1 ) :} $
Per determinare l'immagine di un vettore, devo applicare a quel vettore la f(x)? E quindi in questo caso, la soluzione del punto 1 è:
l'immagine del vettore (2, -1, 3) è il vettore (1, 0, 1)
è giusto?
Per la soluzione del punto 2)
So che la dimensione dell'im(f) è uguale al r(A). Quindi in questo caso il rango della matrice associata A è 2.
A questo punto, per sapere se un vettore appartiene ad im(f), devo risolvere il sistema Ax=y; con Rouchè-Capelli devo individuare se esistono o no soluzioni.
Ma la mia domanda a questo punto è: Se io ho una matrice 3x4, il rango è sempre il minimo tra il numero di righe e colonne, quindi in teoria, aggiungendo una colonna ad una matrice 3x3, essa si potrà sempre scrivere come combinazione lineare delle altre colonne. Allora a questo punto la domanda del punto due avrà sempre come risposta si (cioè, il r(A) = r (A|b) sempre?)?
Mi sembra strano.. so che sto confondendo tantissime cose, ma non riesco a capire dov'è sbagliato il ragionamento che faccio.. La prof.ssa mi ha detto che per risolvere quel punto non devo nemmeno studiare il sistema, ma mi basta sapere quante soluzioni ha.
Però ha detto "se ha o no soluzioni", e se mi ritrovo con infinite soluzioni? il vettore appartiene comunque all'immagine?
Ringrazio anticipatamente per la risposta!
Sono andata a ricevimento più volte dalla mia prof.ssa ma sono ancora piena di dubbi!
L'esercizio è il seguente:
Data f: R3 -> R3 t.c.
$ f = (x_1, x_2, x_3) = (x_1+x_2, 0, 2x_1-x_3) $
Determinare
1) l'immagine di (2, -1, 3)
2) il punto (2, 0, 2) appartiene a Im(f)
Innanzitutto, prima cosa da fare per risolvere questo esercizio è determinare la matrice associata all'applicazione, che è:
$ {: ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 2 , 0 , -1 ) :} $
Per determinare l'immagine di un vettore, devo applicare a quel vettore la f(x)? E quindi in questo caso, la soluzione del punto 1 è:
l'immagine del vettore (2, -1, 3) è il vettore (1, 0, 1)
è giusto?
Per la soluzione del punto 2)
So che la dimensione dell'im(f) è uguale al r(A). Quindi in questo caso il rango della matrice associata A è 2.
A questo punto, per sapere se un vettore appartiene ad im(f), devo risolvere il sistema Ax=y; con Rouchè-Capelli devo individuare se esistono o no soluzioni.
Ma la mia domanda a questo punto è: Se io ho una matrice 3x4, il rango è sempre il minimo tra il numero di righe e colonne, quindi in teoria, aggiungendo una colonna ad una matrice 3x3, essa si potrà sempre scrivere come combinazione lineare delle altre colonne. Allora a questo punto la domanda del punto due avrà sempre come risposta si (cioè, il r(A) = r (A|b) sempre?)?
Mi sembra strano.. so che sto confondendo tantissime cose, ma non riesco a capire dov'è sbagliato il ragionamento che faccio.. La prof.ssa mi ha detto che per risolvere quel punto non devo nemmeno studiare il sistema, ma mi basta sapere quante soluzioni ha.
Però ha detto "se ha o no soluzioni", e se mi ritrovo con infinite soluzioni? il vettore appartiene comunque all'immagine?
Ringrazio anticipatamente per la risposta!
Risposte
La tua risposta al punto 1 va bene.
Riguardo al punto 2, io non starei a fare il discorso del sistema. Semplicemente, le colonne della matrice, che corrispondono a [tex]f(e_1),f(e_2),f(e_3)[/tex], sono i generatori di [tex]Imf[/tex] . Nel tuo caso [tex]Imf = <(1,0,2),(1,0,0),(0,0,-1)>=<(1,0,0),(0,0,-1)>[/tex]
Ora chiediti: il tuo vettore appartiene a questo spazio vettoriale?
Paola
Riguardo al punto 2, io non starei a fare il discorso del sistema. Semplicemente, le colonne della matrice, che corrispondono a [tex]f(e_1),f(e_2),f(e_3)[/tex], sono i generatori di [tex]Imf[/tex] . Nel tuo caso [tex]Imf = <(1,0,2),(1,0,0),(0,0,-1)>=<(1,0,0),(0,0,-1)>[/tex]
Ora chiediti: il tuo vettore appartiene a questo spazio vettoriale?
Paola
..non ho capito perchè
$ Im(f)=<(1,0,0)(0,0,-1)> $
La dimensione dello spazio immagine è il rango di A giusto? Cioè i vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio.
Non ho capito perchè è stato "tolto" il primo vettore.
Come faccio a verificare se il vettore appartiene allo spazio?
$ Im(f)=<(1,0,0)(0,0,-1)> $
La dimensione dello spazio immagine è il rango di A giusto? Cioè i vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio.
Non ho capito perchè è stato "tolto" il primo vettore.
Come faccio a verificare se il vettore appartiene allo spazio?
Il vettore (1,0,2) E' stato "tolto" in quanto e' combinazione Lineare Degli Altri due 
Ovvero Dipende linearmente da (1,0,0) e (0,0,-1)
Non a Caso Quando Hai Calcolato La Dimensione Dell' Imf Hai Ottenuto 2 Quindi Una Base e' necessariamente costituita da 2 vettori
Per verificare se un vettore appartiene ad uno spazio vettoriale, devi verificare se tale vettore dipende linearmente da una base dello spazio
quindi dovrai verificare se (2,0,2) dipende linearmente da (1,0,0) e (0,0,-1)
Ovvero Dipende linearmente da (1,0,0) e (0,0,-1)
Non a Caso Quando Hai Calcolato La Dimensione Dell' Imf Hai Ottenuto 2
Quindi Una Base e' necessariamente costituita da 2 vettori Per verificare se un vettore appartiene ad uno spazio vettoriale, devi verificare se tale vettore dipende linearmente da una base dello spazio
quindi dovrai verificare se (2,0,2) dipende linearmente da (1,0,0) e (0,0,-1)
MCD ha detto tutto, aggiungo una precisazione dato che punk_rock17 mi sembra un po' confusa sull'argomento.
Per verificare se [tex](2,0,2)\in <(1,0,0),(0,0,-1)>=[/tex] devi risolvere il sistema
$((2),(0),(2))=x((1),(0),(0))+y((0),(0),(-1))$
In questo caso non serve perché si vede ad occhio, ma in generale, quando la soluzione è più nascosta, questa è la via.
Paola
Per verificare se [tex](2,0,2)\in <(1,0,0),(0,0,-1)>=
$((2),(0),(2))=x((1),(0),(0))+y((0),(0),(-1))$
In questo caso non serve perché si vede ad occhio, ma in generale, quando la soluzione è più nascosta, questa è la via.
Paola
Grazie per le risposte!
Ma a questo punto mi sorge un'altra domanda..
Quando ero andata a ricevimento dalla mia prof.ssa, mi aveva detto che per verificare se due vettori sono linearmente indipendenti devo calcolarne il rango.
Le colonne che mi portavano a determinare il valore del rango, erano linearmente indipendenti.
Cioè, se in questo caso, ho una matrice 3x3, ne calcolo il rango, trovo che è due.
Questo lo faccio applicando il teorema di Kronecker.
Quindi, posso considerare la mia matrice pilota
$ | ( 1 ) | $
ha determinate diverso da zero. A questo punto la orlo con una riga ed una colonna scelte in tutti i modi possibili tra quelle rimaste, posso scegliere di considerare
$ | ( 1 , 1 ),( 2 , 0 ) | $
ha determinante pari a -2
Secondo il ragionamento che mi ha detto la prof a questo punto concludo: "le prime due colonne sono linearmente indipendenti"
Ma.. a quanto pare.. è sbagliato..
Ma a questo punto mi sorge un'altra domanda..
Quando ero andata a ricevimento dalla mia prof.ssa, mi aveva detto che per verificare se due vettori sono linearmente indipendenti devo calcolarne il rango.
Le colonne che mi portavano a determinare il valore del rango, erano linearmente indipendenti.
Cioè, se in questo caso, ho una matrice 3x3, ne calcolo il rango, trovo che è due.
Questo lo faccio applicando il teorema di Kronecker.
Quindi, posso considerare la mia matrice pilota
$ | ( 1 ) | $
ha determinate diverso da zero. A questo punto la orlo con una riga ed una colonna scelte in tutti i modi possibili tra quelle rimaste, posso scegliere di considerare
$ | ( 1 , 1 ),( 2 , 0 ) | $
ha determinante pari a -2
Secondo il ragionamento che mi ha detto la prof a questo punto concludo: "le prime due colonne sono linearmente indipendenti"
Ma.. a quanto pare.. è sbagliato..
Invece va bene. Infatti i vettori $(1,0,2), (1,0,0)$ non sono linearmente dipendenti (lo vedi anche ad occhio che da uno non ottieni l'altro).
Paola
Paola
Ma allora anche quei due vettori possono formare una base per lo spazio immagine? giusto?
Grazie mille della risposta!
Grazie mille della risposta!
Sì, anche quelli vanno bene.
Paola
Paola
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