Applicazioni lineari e sottospazi

[kind85]

Siano $U$ e $V$ i due seguenti sottospazi di $RR^3$:
$U={(x,y,z) : 2x+y-3z=0}$
$V={(x,y,z) : x+2y+3z=0}$
a) Determinare le basi di $U$ , $V$ , $UnnV$ e $U+V$
b) Se ${ e_1, e_2,e_3}$ è la base canonica di $RR^3$ determinare l'unica applicazione lineare $L : RR^3 to RR^3$ tale che $Ker (L)=UnnV$ e $L(e_1)=e_3$ , $L(e_2)=e_2$
.
c) trovare gli autovalori e gli autovettori di $L$

per il punto a) non ci sono problemi. quello che mi blocca è il punto b). mi aiutate per favore?
Grazie

[Covenant]

"kind85":Siano $U$ e $V$ i due seguenti sottospazi di $RR^3$:
$U={(x,y,z) : 2x+y-3z=0}$
$V={(x,y,z) : x+2y+3z=0}$
a) Determinare le basi di $U$ , $V$ , $UnnV$ e $U+V$
b) Se ${ e_1, e_2,e_3}$ è la base canonica di $RR^3$ determinare l'unica applicazione lineare $L : RR^3 to RR^3$ tale che $Ker (L)=UnnV$ e $L(e_1)=e_3$ , $L(e_2)=e_2$
.
c) trovare gli autovalori e gli autovettori di $L$

per il punto a) non ci sono problemi. quello che mi blocca è il punto b). mi aiutate per favore?
Grazie

determinare le basi per $U$ e $V$ è facile dai. Riporta quei sottospazi ad una rappresentazione parametrica e praticamente hai finito.

[kind85]

"Sergio":[quote="kind85"]b) Se ${ e_1, e_2,e_3}$ è la base canonica di $RR^3$ determinare l'unica applicazione lineare $L : RR^3 to RR^3$ tale che $Ker (L)=UnnV$ e $L(e_1)=e_3$ , $L(e_2)=e_2$

La base di $UnnV$ è costituita da un vettore. Chiamiamolo $v$.
Sai che: $L(v)=(0,0,0), L(e_1)=e_3, L(e_2)=e_2$.
Per vedere come opera l'applicazione, devi vedere come trasforma $e_3$ (sai già come trasforma gli altri due elementi della base canonica). Per farlo, basta che esprimi $e_3$ in termini di $v,e_1,e_2$ e fai quattro conti...[/quote]
praticamente devo esprimere $e_3$ come combinazione lineare di $v,e_1,e_2$ ?
se ho fatto bene, mi viene che $L(e_3)=(-3,3,1)$. da qui poi calcolo la "formula generale" di $L$?