Applicazioni lineari e sottospazi
Buongiorno, facendo esercizi mi è venuto un dubbio, per semplicità vi metto direttamente il testo con le soluzioni annesse(non fatte da me ma corrette dalla professoressa). La domanda è la seguente: perchè nel foglio 5 esercizio 4, per trovare U ha fatto in un modo(che ho capito), e nel foglio 6 esercizio 1 per trovare T e W ha fatto in un'altro? È solo un altro modo, o svolgere l'es1 foglio 6 come l'es 4 foglio 5 è proprio sbagliato?
Grazie in anticipo, di seguito i link dei fogli
Grazie in anticipo, di seguito i link dei fogli
Risposte
ciao,
Foglio 5. Esercizio 4.
Notato che $W$ ha dimensione pari a $2$, possiamo completarlo a una base di $R^3$ (questo per il Teorema di Steinitz). Completandolo a una base di R^3 abbiamo automaticamente che $W \oplus U=R^3$. Infatti, spesso $U$ viene definito come il complemento di $W$ in $R^3$... ossia come i vettori necessari a $U$ per diventare base di tale spazio. Viene da sè che sono in somma diretta.
Foglio 6. Esercizio 1. Punti 2,3.
Il metodo che abbiamo utilizzato per l'altro esercizio è buono fino a che ci troviamo in situazioni in cui possiamo utilizzare il completamento della base in modo abbastanza schematico e tranquillo.
Qui però è necessario utilizzare il teorema dei "Quattro sottospazi associati ad una matrice" (ho visto che la matricola inizia con VR... ricordo che la Angeleri aveva definito così questo teorema
)
In poche parole:
$K^{n}=C(A^{H}) \oplus N(A))$
mentre
$K^{m}=C(A) \oplus N(A^{H})$
$C(A)$ è per definizione: il sottospazio generato dalle colonne della matrice, e la sua dimensione sappiamo essere data dalle colonne dominanti (esse infatti formano una base, come hai successivamente ricavato).
Foglio 5. Esercizio 4.
Notato che $W$ ha dimensione pari a $2$, possiamo completarlo a una base di $R^3$ (questo per il Teorema di Steinitz). Completandolo a una base di R^3 abbiamo automaticamente che $W \oplus U=R^3$. Infatti, spesso $U$ viene definito come il complemento di $W$ in $R^3$... ossia come i vettori necessari a $U$ per diventare base di tale spazio. Viene da sè che sono in somma diretta.
Foglio 6. Esercizio 1. Punti 2,3.
Il metodo che abbiamo utilizzato per l'altro esercizio è buono fino a che ci troviamo in situazioni in cui possiamo utilizzare il completamento della base in modo abbastanza schematico e tranquillo.
Qui però è necessario utilizzare il teorema dei "Quattro sottospazi associati ad una matrice" (ho visto che la matricola inizia con VR... ricordo che la Angeleri aveva definito così questo teorema
)In poche parole:
$K^{n}=C(A^{H}) \oplus N(A))$
mentre
$K^{m}=C(A) \oplus N(A^{H})$
$C(A)$ è per definizione: il sottospazio generato dalle colonne della matrice, e la sua dimensione sappiamo essere data dalle colonne dominanti (esse infatti formano una base, come hai successivamente ricavato).
Ah ok, è già più chiaro, grazie mille!
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