Applicazioni lineari e matrice associata
Buondì!
Ho un problema con il seguente esercizio. Posto il testo per chiarezza.
Sia $RR^2 [x]$ lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a $2$ e sia $D:RR^2 [x] \rightarrow RR^2 [x]$ la funzione che associa ad ogni polinomio la sua derivata in $x$.
a) Si dimostri che $D$ è un'applicazione lineare. Non è permesso di fare uso di risultati dell'analisi matematica.
b) Si calcoli la matrice associata a $D$ nella base canonica $(1,x,x^2)$ e poi nella base $(2,3x,5x^2)$.
c) Si calcoli una base per il nucleo ed una per l'immagine di $D$.
Il punto (a) l'ho già svolto. Il punto (b) mi lascia alquanto perplessa e non sono sicura di come partire...
Grazie!
Ho un problema con il seguente esercizio. Posto il testo per chiarezza.
Sia $RR^2 [x]$ lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a $2$ e sia $D:RR^2 [x] \rightarrow RR^2 [x]$ la funzione che associa ad ogni polinomio la sua derivata in $x$.
a) Si dimostri che $D$ è un'applicazione lineare. Non è permesso di fare uso di risultati dell'analisi matematica.
b) Si calcoli la matrice associata a $D$ nella base canonica $(1,x,x^2)$ e poi nella base $(2,3x,5x^2)$.
c) Si calcoli una base per il nucleo ed una per l'immagine di $D$.
Il punto (a) l'ho già svolto. Il punto (b) mi lascia alquanto perplessa e non sono sicura di come partire...
Grazie!
Risposte
Il tuo spazio ha dimensione tre, e' generato dai vettori $1=(1,0,0)$, $x=(0,1,0)$, $x^2=(0,0,1)$.
D(1) = 0, e in particolare il nucleo di $D$ e' una copia di \(\mathbb R\), ha dimensione 1.
D(x)=1, dunque $D(0,1,0)=(1,0,0)$
D(x^2)=2x dunque $D(0,0,1)=(0,2,0)$.
adesso mi auguro tu sappia scrivere la matrice che cerchi. La procedura con l'altra base e' concettualmente identica, come del resto la totalita' degli esercizi di algebra lineare che esistono sotto il sole. D(2)=0, D(3x)=3, ovvero 2/3 volte il primo vettore, D(5x^2)=10x$, ovvero...
D(1) = 0, e in particolare il nucleo di $D$ e' una copia di \(\mathbb R\), ha dimensione 1.
D(x)=1, dunque $D(0,1,0)=(1,0,0)$
D(x^2)=2x dunque $D(0,0,1)=(0,2,0)$.
adesso mi auguro tu sappia scrivere la matrice che cerchi. La procedura con l'altra base e' concettualmente identica, come del resto la totalita' degli esercizi di algebra lineare che esistono sotto il sole. D(2)=0, D(3x)=3, ovvero 2/3 volte il primo vettore, D(5x^2)=10x$, ovvero...
Quindi, la matrice associata rispetto alla base canonica dovrebbe essere
$((0,1,0),(0,0,2),(0,0,0))$
Per ottenerla, ho messo in colonna le derivate $D(1)=(0,0,0)$, $D(x)=(1,0,0)$ e $D(x^2)=(0,2,0)$. E' corretto?
Per l'altra base, invece, la matrice associata dovrebbe essere
$((0,3,0),(0,0,10),(0,0,0))$
dove le colonne sono sempre le derivate dei vettori che costituiscono la base data.
Grazie!
$((0,1,0),(0,0,2),(0,0,0))$
Per ottenerla, ho messo in colonna le derivate $D(1)=(0,0,0)$, $D(x)=(1,0,0)$ e $D(x^2)=(0,2,0)$. E' corretto?
Per l'altra base, invece, la matrice associata dovrebbe essere
$((0,3,0),(0,0,10),(0,0,0))$
dove le colonne sono sempre le derivate dei vettori che costituiscono la base data.
Grazie!
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