Applicazioni lineari e matrice associata
Salve a tutti ragazzi, ho un problema a capire alcuni esercizi sulle applicazioni lineari, scrivo un primo esercizio che ho capito e poi seguendo questo cerco di farne un'altro che invece secondo lo svolgimento del libro viene fatto in un'altro modo e non riesco a capire il perchè:
l'esercizio che ho capito è:
Esercizio 1
$ sia f: R^2->R^2 $ definita da :
$ f(x1, x2) = (x1+2x2, 3x2, x1) $
Determiniamo la matrice associata alla $ f $ rispetto alle basi canoniche sia nel dominio che nel codominio.
Per calcolare la matrice associata all'applicazione $ f $ sia nel dominio che nel codominio possiamo
calcolare l'immagine
$ f(1,0) $ e $ f(0, 1) $
ottenendo rispettivamente i vettori
$ (1, 0, 1) , (2, 3, 0) $
quindi la matrice associata all'applicazione lineare rispetto le basi canoniche sia nel dominio che nel codominio è
$ A= ( ( 1 , 2 ),( 0 , 3 ),( 1 , 0 ) ) $
Adesso l'esercizio dice di esprimere la matrice associata a due basi differenti da quelle canoniche
cioè le basi
$ B1 = {(1,1), (2,1) } $ nel dominio
$ B2 = {(1,1,0), (1,0,0), (1,2,1)} $ nel codominio
quindi come prima cosa si può utilizzare la matrice $ A $ per calcolare le immagini $ f(1,1) , f(2,1) $
$ f(1,1) = ( ( 1 , 2 ),( 0 , 3 ),( 1 , 0 ) ) * ( ( 1 ),( 1 ) ) $ che è uguale
$ (3,3,1) $
$ f(2,1) = ( ( 1 , 2 ),( 0 , 3 ),( 1 , 0 ) ) * ( ( 2 ),( 1 ) ) $ che è uguale
$ (4,3,2) $
adesso dobbiamo esprimere questi vettori rispetto la base $ B2 $
ottenendo cosi rispettivamente i vettori $ (1,1,1) $ e $ (-1,3,2) $
così la matrice associata all'applicazione $ f $ rispetto le basi $ B1 $ e $ B2 $ è
$ A= ( ( 1 , -1 ),( 1 , 3 ),( 1 , 2 ) ) $
Esercizio 2
Questo esercizio ci da già la matrice associata rispetto due basi, e vuole che si ottenga la matrice associata all'applicazione rispetto le basi canoniche sia nel dominio che nel codominio
Sia $ f : R^4-> R^2 $ con matrice associata
$ A=( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 2 , 1 ) ) $
rispetto alle basi
$ B4= {(1,1,0,0),(1,0,0,0),(2,0,0,1), (0,0,1,0)} i n R^4 $
$ B2= {(1,1), (1,0)} i n R^2 $
Determiniamo la matrice associata a f rispetto alle basi canoniche sia nel dominio che nel codominio
Adesso la prima cosa che mi viene in mente di fare è quella di calcolarmi utilizzando la matrice $ A $ le immagini dei vettori della base canonica di $ R^4 $ dopo aver ottenuto le immagini esprimerle secondo la base canonica di $ R^2 $ e costruire la matrice associata, cioè vorrei utilizzare lo stesso procedimento dell'esercizio 1
Invece nel libro la prima cosa che fa
è quella di esprimersi i vettori della base canonica di $ R^4 $ rispetto la base $ B4 $ dopo utilizzando la matrice $ A $ si calcola le immagini di tali vettori, e tali immagini li esprime rispetto la base canonica di $ R^2 $
Quello che io non capisco è il procedimento del libro, cioè il motivo per cui debba esprimere i vettori della base canonica di $ R^4 $ rispetto la base $ B4 $ .
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi molto semplicemente il perchè? forse c'è qualcosa che mi sfugge nella teoria del libro, ma purtroppo non riesco a capire altro, è circa quattro giorni che cerco di capire questo esercizio.
comunque nel link http://img221.imageshack.us/img221/8260/immaginekn.jpg c'è lo svolgimento del libro
Grazie mille in anticipo
l'esercizio che ho capito è:
Esercizio 1
$ sia f: R^2->R^2 $ definita da :
$ f(x1, x2) = (x1+2x2, 3x2, x1) $
Determiniamo la matrice associata alla $ f $ rispetto alle basi canoniche sia nel dominio che nel codominio.
Per calcolare la matrice associata all'applicazione $ f $ sia nel dominio che nel codominio possiamo
calcolare l'immagine
$ f(1,0) $ e $ f(0, 1) $
ottenendo rispettivamente i vettori
$ (1, 0, 1) , (2, 3, 0) $
quindi la matrice associata all'applicazione lineare rispetto le basi canoniche sia nel dominio che nel codominio è
$ A= ( ( 1 , 2 ),( 0 , 3 ),( 1 , 0 ) ) $
Adesso l'esercizio dice di esprimere la matrice associata a due basi differenti da quelle canoniche
cioè le basi
$ B1 = {(1,1), (2,1) } $ nel dominio
$ B2 = {(1,1,0), (1,0,0), (1,2,1)} $ nel codominio
quindi come prima cosa si può utilizzare la matrice $ A $ per calcolare le immagini $ f(1,1) , f(2,1) $
$ f(1,1) = ( ( 1 , 2 ),( 0 , 3 ),( 1 , 0 ) ) * ( ( 1 ),( 1 ) ) $ che è uguale
$ (3,3,1) $
$ f(2,1) = ( ( 1 , 2 ),( 0 , 3 ),( 1 , 0 ) ) * ( ( 2 ),( 1 ) ) $ che è uguale
$ (4,3,2) $
adesso dobbiamo esprimere questi vettori rispetto la base $ B2 $
ottenendo cosi rispettivamente i vettori $ (1,1,1) $ e $ (-1,3,2) $
così la matrice associata all'applicazione $ f $ rispetto le basi $ B1 $ e $ B2 $ è
$ A= ( ( 1 , -1 ),( 1 , 3 ),( 1 , 2 ) ) $
Esercizio 2
Questo esercizio ci da già la matrice associata rispetto due basi, e vuole che si ottenga la matrice associata all'applicazione rispetto le basi canoniche sia nel dominio che nel codominio
Sia $ f : R^4-> R^2 $ con matrice associata
$ A=( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 2 , 1 ) ) $
rispetto alle basi
$ B4= {(1,1,0,0),(1,0,0,0),(2,0,0,1), (0,0,1,0)} i n R^4 $
$ B2= {(1,1), (1,0)} i n R^2 $
Determiniamo la matrice associata a f rispetto alle basi canoniche sia nel dominio che nel codominio
Adesso la prima cosa che mi viene in mente di fare è quella di calcolarmi utilizzando la matrice $ A $ le immagini dei vettori della base canonica di $ R^4 $ dopo aver ottenuto le immagini esprimerle secondo la base canonica di $ R^2 $ e costruire la matrice associata, cioè vorrei utilizzare lo stesso procedimento dell'esercizio 1
Invece nel libro la prima cosa che fa
è quella di esprimersi i vettori della base canonica di $ R^4 $ rispetto la base $ B4 $ dopo utilizzando la matrice $ A $ si calcola le immagini di tali vettori, e tali immagini li esprime rispetto la base canonica di $ R^2 $
Quello che io non capisco è il procedimento del libro, cioè il motivo per cui debba esprimere i vettori della base canonica di $ R^4 $ rispetto la base $ B4 $ .
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi molto semplicemente il perchè? forse c'è qualcosa che mi sfugge nella teoria del libro, ma purtroppo non riesco a capire altro, è circa quattro giorni che cerco di capire questo esercizio.
comunque nel link http://img221.imageshack.us/img221/8260/immaginekn.jpg c'è lo svolgimento del libro
Grazie mille in anticipo
Risposte
Qualcuno può aiutarmi? 
up
Non sono riuscito a leggere molto dal file allegato ma credo, da come ne hai parlato, che il tuo libro adotti il metodo del cambio di base cioè devi pensare la funzione come composizione di tre funzioni: l'identità su R^4, la funzione f, l'identità su R^2. Ognuna di esse avrà una matrice associata (quelle delle identità sono le matrici del cambio di base) e per ottenere quella che cerchi non devi far altro che moltiplicarle in ordine (M(idR^2) dalla B2 alla canonica)*(M(f))*(M(idR^4) dalla canonica a B4).
Scusa se non si capisce molto ma sono nuovo e ancora non riesco a inserire le formule...
Scusa se non si capisce molto ma sono nuovo e ancora non riesco a inserire le formule...
innanzitutto, grazie per la risposta,
quello che non capisco io è il perchè si esprime i vettori della base canonica per componenti rispetto B4 .
Io invece avrei calcolato prima le immagini dei vettori della base canonica di R^4 utilizzando la matrice data dal testo, dopodiché i vettori ottenuti li avrei espressi rispetto la base canonica di R^2.
Il mio ragionamento è sbagliato, ma vorrei capire il perchè.
Grazie in anticipo
quello che non capisco io è il perchè si esprime i vettori della base canonica per componenti rispetto B4 .
Io invece avrei calcolato prima le immagini dei vettori della base canonica di R^4 utilizzando la matrice data dal testo, dopodiché i vettori ottenuti li avrei espressi rispetto la base canonica di R^2.
Il mio ragionamento è sbagliato, ma vorrei capire il perchè.
Grazie in anticipo
Scrivere la matrice del cambio di base è come scrivere la matrice associata all'identità (su $ RR^4 $ nel tuo caso).
Prendi un vettore della base di partenza (quella canonica) gli applichi la funzione (l'identità; quindi resta invariato) e esprimi tale vettore come combinazione dei vettori della base d'arrivo (B4). In questo modo ti sei costruito $ M_{C,B4}(id_{RR^4}) $ ; il ragionamento è analogo per $ M_{B2,C}(id_{RR^2}) $ .
Il tuo ragionamento è sbagliato perché la "formula" che tu usi per calcolare l'immagine di un vettore ( $ beta=Malpha $ immagino) trasforma le coordinate, non il vettore; quindi $ ( ( 1 , 0 , 0 , -1 ),( -1 , 1 , 2 , 1 ) ) ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ non è l'immagine di $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ ma l'immagine delle coordinate di $ ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )=b_1 $ .
Prendi un vettore della base di partenza (quella canonica) gli applichi la funzione (l'identità; quindi resta invariato) e esprimi tale vettore come combinazione dei vettori della base d'arrivo (B4). In questo modo ti sei costruito $ M_{C,B4}(id_{RR^4}) $ ; il ragionamento è analogo per $ M_{B2,C}(id_{RR^2}) $ .
Il tuo ragionamento è sbagliato perché la "formula" che tu usi per calcolare l'immagine di un vettore ( $ beta=Malpha $ immagino) trasforma le coordinate, non il vettore; quindi $ ( ( 1 , 0 , 0 , -1 ),( -1 , 1 , 2 , 1 ) ) ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ non è l'immagine di $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ ma l'immagine delle coordinate di $ ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )=b_1 $ .
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