Applicazioni lineari e isomorfismi

[flosfloris]

ciao a tutti!!!!
ho un piccolo dubbio e spero tanto che mi aiuterete
vorrei sapere se una applicazione lineare e anche un isomorfismo conservano sia la dipendenza e l 'indipendenza lineare...?!
una dimostrazione mi dice che se considero la funzione F:v-w e ho un sistema di vettori linearmente dipendente appartenente a v allora anche le immagini saranno linearmente dipendenti.. e fin qui ci siamo quindi in poche parole mi dice che la dipendenza si conserva.
una seconda proposizione mi dice invece che se le immagini sono indipendenti lo sara anche il sistema di vettori appartenenti a v... è totalmente l'opposto del teorema di prima.. e quello che mi chiedo è se anche se è l 'opposto vuol dire che mantiene anche l indipendenza lineare??? pleasee aiutatemiiii

[Nicolas B]

Allora, vediamo di mettere un po' di ordine... I due teoremi che citi affermano in sostanza la stessa cosa (sono equivalenti, non opposti); ovvero data un'applicazione lineare tra spazi vettoriali, insiemi di vettori linearmente dipendenti vengono mandati in insiemi di vettori linearmente dipendenti (conserva la dipendenza lineare).
Questo però non vuol dire che conservi anche l'indipendenza lineare (pensa a un'applicazione banale che mandi tutti i vettori di &V& nel vettore nullo di &W&).
Per quanto riguarda gli isomorfismi, invece, il discorso è diverso, perché tutte le proprietà dello spazio sono conservate, anche l'indipendenza (basta pensare che un isomorfismo manda basi in basi).

[flosfloris]

quindi per quanto riguarda un applicaione lineare si conserva la dipendenza lineare.. differentemente da un isomorfismo dove s conservano entrambe giusto????????