Applicazioni lineari e dipendenza lineare

[Manugal]

Ciao a tutti!

Sul mio libro ho un esempio che non sono riuscito a capire bene. Dice:

Sia $f:RR^2->RR^3$ tale che per ogni $(x,y)$ in $RR^2$, $f(x,y)=(x,y,0)$; considerati ad esempio i vettori $(-1,1)$ e $(0,2)$ di $RR^2$, essi sono linearmente indipendenti essendo $det[(-1,1),(0,2)]=-2$. I vettori $f(-1,1)=(-1,1,0)$ e $f(0,2)=(0,2,0)$ sono linearmente indipendenti poiche $rg[(-1,1,0),(0,2,0)]=2$ (fin qui tutto ok). Inoltre, per ogni $(x,y,0)$ in $Imf$, risulta

$(x,y,0)=-x(-1,1,0)+(x+y)/2(0,2,0)$
......
......

Ecco non ho capito come ha fatto a fare quest'ultimo conto.

Grazie.

[Pappus]

$-x (-1,1,0)+ (x+y)/2 (0,2,0)= (x,-x,0)+(0, x+y,0)= (x,y,0)$

suppongo che qui ti stia dicendo che (-1,1,0) e (0,2,0) siano una base per Imf.
ciao

[Manugal]

Si mi dice che in conseguenza di $(x,y,0)=-x(-1,1,0)+(x+y)/2(0,2,0)$ allora (-1,1,0) e (0,2,0) sono una base per Imf. Però non capisco come ha fatto a trovare $-x$ e $(x+y)/2$

[Pappus]

ti basta risolvere il sistema $a(-1,1,0)+b(0,2,0)=(x,y,0)$ in a e b, ottenendo appunto $a=-x$, $a+2b=y$ cioè $-x+2b=y$.

[Manugal]

Ma pensa te era una stupidaggine....

Infatti così viene. Grazie mille.