Applicazioni Lineari di polinomi

[datge]

Salve,Non capisco come sviluppare i punti di questo esercizio: T:R3[t]->R3[T] data da T(p)(t)=3p(t)+7p''(t^2).

i)Calcola T(t^3+2t-1);
ii)scrivi la matrice associata ad T nella base t^3 ,t^2 ,t ,1

Ho pensato di prendere il polinomio generico p(t)=a0+a1t+a2t^2+a3t^3.Poi però non sò come procedere .

Grazie dell' aiuto!

[billyballo2123]

Dato che $p''(t)=6t$ (e $p''(t^2)=6t^2$), allora
\[
T(t^3+2t-1)=3(t^3+2t-1)+7\cdot 6t^2=3t^3+42t^2+6t-3.
\]
Inoltre $T(t^3)=3t^3+42t^2$, $T(t^2)=3t^2+14$, $T(t)=3t$ e $T(1)=3$, dunque la matrice associata a $T$ è
\[
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 & 0 \\
42 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 14 & 0 & 3
\end{bmatrix}.
\]

[datge]

Ciao, grazie della risposta ma non ho ben capito come trovi la matrice associata alla base t^3 ,t^2 ,t ,1

[billyballo2123]

In pratica identifichi il vettore $t^3=t^3+0t^2+0t+0$ come il vettore $([1,0,0,0])$, $t^2$ come $([0,1,0,0])$, $t$ come $([0,0,1,0])$ e $1$ come $([0,0,0,1])$. Dire che $T(t^3)=3t^3+42t^2$ è come dire che $T([1,0,0,0])=([3,42,0,0])$, dunque
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{1,2} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{2,2} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{3,2} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{4,2} & a_{43} & a_{44}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} \\
a_{21} \\
a_{31} \\
a_{41}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 \\
42 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}.
\]
Per trovare la $j$-esima colonna della matrice, non ti resta che guardare l'immagine di $T(t^j)$.

[art4]

Salve, non riesco a trovare il polinomio caratteristico di questo esercizio chi può aiutarmi ????
Data A ∈M33(R) trovare pA(t) e gli autovalori di A sapendo che
det(A) = −180, tr(A) = 11 e pA(−1) = 240.