Applicazioni lineari

[melli13]

$F:RR^4->RR^3$

$F(e_1)=((a),(a+1),(a+2))
$F(e_2)=((2),(a),(3))$
$F(e_3)=((3),(1),(4))$
$F(e_4)=((a),(2),(3))$

Vorrei capire come creare una matrice con questa applicazione...grazie per l'aiuto...

[gugo82]

Visto che [tex]$x=(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1\text{e}_1+x_2\text{e}_2+x_3\text{e}_3+x_4\text{e}_4$[/tex] e visto che la [tex]$F$[/tex] è lineare, hai:

[tex]$F(x)=F(x_1\text{e}_1+x_2\text{e}_2+x_3\text{e}_3+x_4\text{e}_4)$[/tex]
[tex]$=x_1\ F(\text{e}_1)+x_2\ F(\text{e}_2)+x_3\ F(\text{e}_3)+x_4\ F(\text{e}_4)$[/tex]
[tex]$=\big( a x_1+2x_2+3x_3+ax_4, (a+1)x_1+ax_2+x_3+2x_4, (a+2)x_1+3x_2+4x_3+3x_4\big)$[/tex]

e puoi constatare che il valore di [tex]$F(x)$[/tex] si esprime mediante il prodotto riga/colonna [tex]$A\cdot x$[/tex] del vettore [tex]$x$[/tex] con la matrice [tex]$A$[/tex] di dimensioni [tex]$3\times 4$[/tex], la quale ha come colonne i vettori [tex]$F(\text{e}_1),\ldots ,F(\text{e}_4)$[/tex], ossia:

[tex]$A=\begin{pmatrix} a & 2 & 3 & a \\ a+1 & a & 1 & 2 \\ a+2 & 3 & 4 & 3\end{pmatrix}$[/tex].

Questa è una costruzione elementare, che dovresti saper fare dopo aver letto il primo paragrafo sulle applicazioni lineari; quindi, se non l'hai fatto, ti consiglio di leggere prima la teoria e poi passare agli esercizi.