Applicazioni Lineari
Ciao a tutti. Tra 1 settimana ho l'esame di geomtria e algebra lineare e non capisco propio come fare certi esercizi.
Il problema è che non capisco come impostare l'esercizio e quindi non so nemmeno come iniziare.Ci sono esercizi simili con le matrici e mi riescono ma quando l'applicazione è scritta in questa forma non capisco propio.
Questo per esempio è un altro che non riesco a risolvere:
Grazie a tutti in anticipo!
Il problema è che non capisco come impostare l'esercizio e quindi non so nemmeno come iniziare.Ci sono esercizi simili con le matrici e mi riescono ma quando l'applicazione è scritta in questa forma non capisco propio.
Questo per esempio è un altro che non riesco a risolvere:
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Ciao Mulder90. Benvenuto nel forum 
Il trucco per risolvere il primo esercizio è ricordare tutte le definizioni.
Per esempio, per verificare se l'applicazione $T$ in questione è lineare ti basta verificare che
$T(a\bar{x}+b\bar{y})=aT(\bar{x})+bT(\bar{y})$
per ogni $a,b\in RR$ e per ogni $\bar{x},\bar{y}\in V$.
[Ho messo la barretta che indica "vettore" sopra la lettera]
Per esempio, prendiamo $\alpha=1$ e verifichiamo che $T$ è lineare:
$T(\bar{x})=2\bar{x}\wedge\bar{v}$
Per ogni $a,b\in RR$ e per ogni $\bar{x},\bar{y}\in V$ si ha che
$T(a\bar{x}+b\bar{y})=2(a\bar{x}+b\bar{y})\wedge\bar{v}=$
$\ \ \ =2a\bar{x}\wedge\bar{v}+2b\bar{y}\wedge\bar{v}=
$\ \ \ =aT(\bar{x})+bT(\bar{y})$.
Per verificare che se $T$ è iniettiva puoi verificare equivalentemente se $"ker"T={0}$.
Il trucco per risolvere il primo esercizio è ricordare tutte le definizioni.
Per esempio, per verificare se l'applicazione $T$ in questione è lineare ti basta verificare che
$T(a\bar{x}+b\bar{y})=aT(\bar{x})+bT(\bar{y})$
per ogni $a,b\in RR$ e per ogni $\bar{x},\bar{y}\in V$.
[Ho messo la barretta che indica "vettore" sopra la lettera]
Per esempio, prendiamo $\alpha=1$ e verifichiamo che $T$ è lineare:
$T(\bar{x})=2\bar{x}\wedge\bar{v}$
Per ogni $a,b\in RR$ e per ogni $\bar{x},\bar{y}\in V$ si ha che
$T(a\bar{x}+b\bar{y})=2(a\bar{x}+b\bar{y})\wedge\bar{v}=$
$\ \ \ =2a\bar{x}\wedge\bar{v}+2b\bar{y}\wedge\bar{v}=
$\ \ \ =aT(\bar{x})+bT(\bar{y})$.
Per verificare che se $T$ è iniettiva puoi verificare equivalentemente se $"ker"T={0}$.
ciao intanto grazie della risposta.
La tua risposta mi lascia un po di dubbi che non riesco a comprendere a fondo.
Te fai:
$T(abar (x)+b bar (y))=2(abar (x)+b bar (y))^^bar (v)= 2abar (x)^^bar (v)+2b bar (y)^^bar (v)$
Suppongo sia dato da $bar (x)=(a bar(x) + b bar(y))$ giusto?
Per l'iniettività devo avere il ker={0} quindi avendo $2bar(x)^^bar(v)$ essi fanno 0 se sono parallleli no?
Il secondo esercizio che ho messo come lo devo impostare?
Domanda stupidissima:
Se io ho un applicazione lineare T(x)=x*v^^w ecc.... e la traccia mi dice di studiare l'applicazione e vedere se è iniettiva,lineare ecc...
Esiste un metodo per trovare la matrice associata di questo tipo di applicazioni?
mi spiego meglio:
Se io ho un applicazione del tipo $ f: RR ^3 -> RR^3$ definita da $f(x,y,z) = (x+y,y-z,x+y+z)$ riesco con molta semplicità a studiare tutto di questa applicazione attraverso la matrice associata.
Se invece ho qualcosa del genere $ T: V->V :bar(x)->(bar(x)*bar(u))bar(u)$ e per esempio mi chiede di studiare la dimensione del nucleo sapendo che $bar(u)$ è un vettore libero di modulo 1 vo nel pallone e non so come muovermi...
La tua risposta mi lascia un po di dubbi che non riesco a comprendere a fondo.
Te fai:
$T(abar (x)+b bar (y))=2(abar (x)+b bar (y))^^bar (v)= 2abar (x)^^bar (v)+2b bar (y)^^bar (v)$
Suppongo sia dato da $bar (x)=(a bar(x) + b bar(y))$ giusto?
Per l'iniettività devo avere il ker={0} quindi avendo $2bar(x)^^bar(v)$ essi fanno 0 se sono parallleli no?
Il secondo esercizio che ho messo come lo devo impostare?
Domanda stupidissima:
Se io ho un applicazione lineare T(x)=x*v^^w ecc.... e la traccia mi dice di studiare l'applicazione e vedere se è iniettiva,lineare ecc...
Esiste un metodo per trovare la matrice associata di questo tipo di applicazioni?
mi spiego meglio:
Se io ho un applicazione del tipo $ f: RR ^3 -> RR^3$ definita da $f(x,y,z) = (x+y,y-z,x+y+z)$ riesco con molta semplicità a studiare tutto di questa applicazione attraverso la matrice associata.
Se invece ho qualcosa del genere $ T: V->V :bar(x)->(bar(x)*bar(u))bar(u)$ e per esempio mi chiede di studiare la dimensione del nucleo sapendo che $bar(u)$ è un vettore libero di modulo 1 vo nel pallone e non so come muovermi...
"Mulder90":
Te fai:
$T(abar (x)+b bar (y))=2(abar (x)+b bar (y))^^bar (v)= 2abar (x)^^bar (v)+2b bar (y)^^bar (v)$
Ho usato la definizione di $T$ per $alpha=1$, cioè $T(\bar(x))=2\bar(x)^^v$.
Ho sostituito $abar (x)+b bar (y)$ a $\bar(x)$.
"Mulder90":
Per l'iniettività devo avere il ker={0} quindi avendo $2bar(x)^^bar(v)$ essi fanno 0 se sono parallleli no?
Esatto, il prodotto vettoriale fra due vettori è nullo se e solo se i due vettori sono proporzionali.
"Mulder90":
Il secondo esercizio che ho messo come lo devo impostare?
...
Se invece ho qualcosa del genere $ T: V->V :bar(x)->(bar(x)*bar(u))bar(u)$ e per esempio mi chiede di studiare la dimensione del nucleo sapendo che $bar(u)$ è un vettore libero di modulo 1 vo nel pallone e non so come muovermi...
Secondo me, ti conviene usare la definizione.
Per esempio, per quest'ultimo esercizio tu devi calcolare il nucleo.
Ma i vettori del nucleo di $T$ sono tutti e soli i vettori $\bar(x)$ tali che $T(bar(x))=0$ cioè $(bar(x)*bar(u))\ bar(u)=0$.
Ma $\bar(u)$ è non nullo, quindi $bar(x)*bar(u)=0$, cioè tutti i vettori ortogonali a $u$.
E qual è la dimensione dell'insieme dei vettori ortogonali a $\bar(u)$?
Per quanto riguarda, lo studio della diagonalizzabilità dell'applicazione $T$ tale che
$T(\bar(x))=(bar(x)^^\bar(v)_1*\bar(v)_2)\bar(v)_1$
come avevi giustamente osservato, ti serve la matrice associata.
E allora la prima idea che mi viene in mente è prendere una base opportuna, per esempio la base $(v_1,v_2,v_1^^v_2)$.
Sai trovare la matrice associata a $T$ rispetto a tale base?
Secondo me, ti conviene usare la definizione.
Per esempio, per quest'ultimo esercizio tu devi calcolare il nucleo.
Ma i vettori del nucleo di T sono tutti e soli i vettori $ bar(x)$ tali che $ T(bar(x))=0$ cioè $(bar(x)*bar(u))bar(u)=0.$
Ma $bar(u)$ è non nullo, quindi $bar(x)*bar(u)$, cioè tutti i vettori ortogonali a u.
E qual è la dimensione dell'insieme dei vettori ortogonali a $bar(u)$?
Ok e con il ragionamento ci siamo...la dimensione dell'insieme dei vettori ortogonali ad un altro vettore dato è un fascio di rette impropio giusto?? dimensione 1?
Sai trovare la matrice associata a $T$ rispetto a tale base?
no
"Mulder90":
[quote="cirasa"]...
E qual è la dimensione dell'insieme dei vettori ortogonali a $bar(u)$?
Ok e con il ragionamento ci siamo...la dimensione dell'insieme dei vettori ortogonali ad un altro vettore dato è un fascio di rette impropio giusto?? dimensione 1?
[/quote]
Sei in $RR^3$ che è uno spazio vettoriale di dimensione $3$. Dovresti sapere che, se $\bar(u)$ è un vettore non nullo, allora
$RR^3= <\bar(u)> \oplus <\bar(u)>^\bot$.
Da cui segue ovviamente che $<\bar(u)>^\bot$ ha dimensione $3-1=2$!
"Mulder90":
[quote="cirasa"]Sai trovare la matrice associata a $T$ rispetto a tale base?
no
[/quote]Applica la definizione di matrice associata, calcolando $T(\bar(v)_1)$, $T(\bar(v)_2)$ e $T(\bar(v)_1^^\bar(v)_2)$ e trovando le terne di componenti di tali vettori rispetto alla base $(\bar(v)_1,\bar(v)_2,\bar(v)_1^^\bar(v)_2)$.
sulla dimensione = 1 non mi dire che sei cascato dalla sedia 
Comunque ora ho capito.
Per la matrice associata è possibile che mi venga $( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) )$???
se fosse così la matrice è non diagonalizzabile giusto?
Comunque ora ho capito.
Per la matrice associata è possibile che mi venga $( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) )$???
se fosse così la matrice è non diagonalizzabile giusto?
"Mulder90":No, non sono cascato dalla sedia. Però mi è venuta in mente qualche esclamazione colorita che non posso ripetere
sulla dimensione = 1 non mi dire che sei cascato dalla sedia
Comunque ora ho capito.
Scherzo, ovviamente, stai tranquillo. Capita a tutti di sbagliare. L'importante è non ripetere gli stessi errori.
"Mulder90":
Per la matrice associata è possibile che mi venga $( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) )$???
Quella è (giustamente) solo la prima colonna della matrice associata.
Ora devi trovare la seconda colonna (ma è simile...) e poi la terza.
ok se non ho sbagliato qualcosa mi torna un matrice 3x3 con tutti 0.
Non è diagonalizzabile giusto?
Non è diagonalizzabile giusto?
Se la matrice avesse tutti $0$ sarebbe diagonalizzabile (è ovviamente diagonale).
Il problema è che la terza colonna non ha tutti $0$...
Il problema è che la terza colonna non ha tutti $0$...
Ciao ho un'altro problema e visto che si tratta sempre di un applicazione lineare lo scrivo qui.
Sia $f:RR^4 -> RR^4$ l'applicazione lineare definita da $f(x,y,z,w) = (-2x+z,-y+w,-ax+2z,-2y+2w)$ dove a è un parametro reale.Si ha
1) Per due valori distinti di a si ha ker(f) = Im(f)
2) Per tutti i valori di a dim(ker(f)) = dim(Im(f))
3) Per nessun valore di a si ha ker(f) = Im(f)
4) Per un solo valore di a si ha ker(f) = Im(f)
5) nessuna delle altre.
Ho fatto il rango,ho trovate che se a=4 il rango è 2 e quindi la dimensione dell'immagine coincide con quella del kernel.Quindi la risposta 2 è sbagliata.
facendo il Ker trovo che è della forma (x,y,2x,y)...come procedo?
Sia $f:RR^4 -> RR^4$ l'applicazione lineare definita da $f(x,y,z,w) = (-2x+z,-y+w,-ax+2z,-2y+2w)$ dove a è un parametro reale.Si ha
1) Per due valori distinti di a si ha ker(f) = Im(f)
2) Per tutti i valori di a dim(ker(f)) = dim(Im(f))
3) Per nessun valore di a si ha ker(f) = Im(f)
4) Per un solo valore di a si ha ker(f) = Im(f)
5) nessuna delle altre.
Ho fatto il rango,ho trovate che se a=4 il rango è 2 e quindi la dimensione dell'immagine coincide con quella del kernel.Quindi la risposta 2 è sbagliata.
facendo il Ker trovo che è della forma (x,y,2x,y)...come procedo?
"Mulder90":Giusto. E per gli altri valori di $a$ cosa succede?
...
Ho fatto il rango,ho trovate che se a=4 il rango è 2 e quindi la dimensione dell'immagine coincide con quella del kernel.
"Mulder90":Questo per $a=4$, giusto? E per gli altri valori come sono fatti i vettori del $ker$?
...
facendo il Ker trovo che è della forma (x,y,2x,y)...
"Mulder90":Inizia a calcolare una base del nucleo e una base dell'immagine (per tutti i valori di $a$).
...come procedo?
Dalle loro dimensioni puoi escludere qualche risposta, come hai fatto precedentemente.
Dall'analisi di questi due sottospazi dovresti riuscire ad ottenere le risposte che cerchi.
Giusto. E per gli altri valori di $a$ cosa succede?
per $a!=4$ il rango è uguale a 3 e le dimensioni del nucleo e dell'immagine sono rispettivamente 1 e 3.
Questo per $a=4$ , giusto? E per gli altri valori come sono fatti i vettori del $ker$ ?
Allora se non sbaglio dovrebbero essere della forma $(x,y,z,y)$.
Allora ho provato a ragionare un po ma non so se sono arrivato alla giusta conclusione.
Per $a = 4$ una base dell'immagine è ${(2,0,-4,0),(0,-1,0,-2)}$ mentre per $a!=4$ una base dell'immagine è ${(-2,0,0,0),(0,-1,0-2),(1,0,1,0)}$
Una base del nucleo per $a=4$ è ${(1,0,2,0),(0,1,0,1)}$ mentre per $a!=4$ una base del nucleo è ${(1,0,0,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0)}$.
Da questo deduco che solo se $a=4$ il $ker(f)=Img(f)$ ma non ne sono per niente sicuro.
EDIT: le risposte del prof danno la 3° come risposta esatta quindi il mio ragionamento è sbagliato
"Mulder90":
Per $a = 4$ una base dell'immagine è ${(2,0,-4,0),(0,-1,0,-2)}$ mentre per $a!=4$ una base dell'immagine è ${(-2,0,0,0),(0,-1,0-2),(1,0,1,0)}$
Ok, a parte una svista. Per $a=4$ il primo vettore della tua base è $(-2,0,-4,0)$.
"Mulder90":Qui c'è un errore per $a!=4$.
Una base del nucleo per $a=4$ è ${(1,0,2,0),(0,1,0,1)}$ mentre per $a!=4$ una base del nucleo è ${(1,0,0,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0)}$.
La dimensione del nucleo non può essere $3$ (perchè la dimensione dell'immagine è $3$, da cui segue che il nucleo deve avere dimensione $1$).
Verifica che una base del nucleo è formata dal solo vettore $(0,1,0,1)$.
Adesso analizziamo punto per punto:
"Mulder90":
1) Per due valori distinti di a si ha ker(f) = Im(f)
2) Per tutti i valori di a dim(ker(f)) = dim(Im(f))
3) Per nessun valore di a si ha ker(f) = Im(f)
4) Per un solo valore di a si ha ker(f) = Im(f)
5) nessuna delle altre.
1) Se $ker(f)=Im(f)$, allora sono uguali anche le loro dimensioni. Ma ciò accade solo per $a=4$. Non possono esserci due valori distinti. falso
2) Evidentemente no. Per $a=4$ ciò non accade. falso
3) e 4) Vediamo un po'. L'unico caso in cui può accadere che $ker(f)=Im(f)$ è per $a=4$ (per questioni di dimensioni come al punto 1). Per $a=4$ si ha che
$Im(f)=<(-2,0,-4,0),(0,-1,0,-2)>$
$ker(f)=<(1,0,2,0),(0,1,0,1)>$
E qui puoi osservare che questi due sottospazi non sono uguali (per esempio $(0,1,0,1)$ è in $ker(f)$ ma non in $Im(f)$).
Quindi la 3) è vera, la 4) è falsa.
5) falso
Grazie di tutto, stamani sono andato al ricevimento e grazie alle tue e alle spiegazioni del professore sono riuscito a capire 
Prego, buono studio!
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