Applicazioni lineari

[bitmap-votailprof]

Ho qualche problema a risolvere questo esercizio....

Applicazione lineare T:R2-->R3 definita da:

T(x,y)=(4x+2y, 8kx+9y, 4x+2y)

Per quali valori di K è iniettiva e suriettiva?

Trovare una base di Im(T) e una base di Ker (T)

sapreste aiutarmi?

[ciampax]

Per prima cosa: cosa è il nucleo? Quale è la definizione? Da essa, dovresti essere in grado di determinarlo!

[bitmap-votailprof]

Allora...il nucleo è l'insieme dei vettori di V la cui immagine è il vettore nullo di W...questo lo so.....
ma vorrei sapere come risolvere l'esercizio...nel senso quali sono i passaggi...

ho trovato la matrice associata che è una 3x2 poi ho ridotto con gauss....
e ora?

[ciampax]

Una funzione lineare è iniettiva se e solo se il nucleo è banale! Questo vuol dire che l'unica soluzione è il vettore nullo. Al variare di $k$ ottieni matrici diverse, per cui la soluzione dell'equazione $AX=0$ dove $A$ è la matrice dei coefficienti che hai trovato, cambia. Cerca di determinare per prima cosa per quali valori di $k$ potresti avere la soluzione banale (non è detto che ci sia) e quindi determina una base del nucleo a partire dalla soluzione trovata.

[bitmap-votailprof]

A=$((4,2),(8k,9),(4,2))$

riduco con gauss e mi viene:

A=$((2,0),(0,9-4k),(0,0))$

ora come mi muovo?

scusa ma sono zero in matematica e devo riuscire a risolvere questo esercizio...

[@melia]

Guarda qui e scrivi le matrici in modo presentabile, diventa più facile leggere per chi volesse/sapesse aiutarti.

[kamal1]

riducendo la matrice A dell'applicazione T si ottiene $((2,0),(0,9-4k),(0,0))$ quindi se k è diverso di 9/4 rang(A)=rang(T)=2
seno rang(A)=rang(T)=1 quindi si vede che il rango di A non puo mai essere 3 quindi T non puo essere suriettiva.
sia X=$(x1,x2)$ tc AX=0 (matrice nula) quindi $((4,2),(8k,9),(4,2))$$((x1),(x2))$=0
quindi 4x1-2x2=0
8kx1-9x2=0 risolvendo si vede si k=9/4 kerT è di dimensione quindi T non é iniettiva se k è diverso di 9/4 T è iniettiva.