Applicazioni Lineari

[Camillo]

Propongo questo esercizio (più risposte possono essere corrette):

Indicare le proprietà vere in relazione ad una applicazione lineare $f :V rarr W $ :
1) f è iniettiva se e solo se $f( vec0) = vec0 $.
2) f è suriettiva se e solo se $ Im f = W $ .
3) le immagini di vettori linearmente indipendenti di V sono linearmente indipendenti in W .
4) le immagini di vettori linearmente dipendenti di V sono linearmente dipendenti in W .

[rubik2]

1) falsa. l'applicazione $F:V->W$ che associa ad ogni vettore il vettore nullo soddisfa $F(vec0)=vec0$ ma chiaramente non è iniettiva
2) vera. (anche se ho paura di prendere un abbaglio, che con codominio, immagine ho sempre fatto confusione)
3) falsa. di nuovo considero la F del punto 1.
4) vera. se $vecv,vecw$ sono linearmente dipendenti allora $EEa,binK$ tali che $avecv+bvecw=vec0$ applico f e ottengo $a*f(vecv)+b*f(vecw)=f(vec0)=0$ (dove per K intendo il campo su cui sono definiti i due spazi vettoriali)

scritto qualche stupidaggine?

[Camillo]

Perfetto ! era il punto3 che lasciava spazio a dubbi : non trovavo un controesempio che ne dimostrasse la falsità