Applicazioni lineari
Ciao,
ho ancora qualche dubbio sulle apllicazioni lineari
e sto cercando di chiarirlo ad esempio data $f:RR^3 rarr RR^2, (x, y, z) rarr (x+2y+z, y+z)$
se mi chiedo di calcolare $w := f(2, 1, 3)$, basta sostituire se invece voglio $f^(-1)(w)$ allora $f^(-1)(w) = v + Ker(F)$
in questo caso $Ker(f) = L(1,-1,1)$ quindi $F^(-1)(w) = (2+t, 1-t, 3+t)$ con $t in RR$
però, almeno secondo me, non è la stessa cosa risolvere questo sistema lineare
${(x+2y+z = 7),(y+z = 4):}$ le cui soluzioni sono $L((1, -1, 1)) + (-1, 4, 0)$
ma allora dovrebbe esserci qualche relazione tra $(-1, 4, 0)$ e $(2, 1, 3)$ però io non la vedo
ho ancora qualche dubbio sulle apllicazioni lineari
e sto cercando di chiarirlo ad esempio data $f:RR^3 rarr RR^2, (x, y, z) rarr (x+2y+z, y+z)$
se mi chiedo di calcolare $w := f(2, 1, 3)$, basta sostituire se invece voglio $f^(-1)(w)$ allora $f^(-1)(w) = v + Ker(F)$
in questo caso $Ker(f) = L(1,-1,1)$ quindi $F^(-1)(w) = (2+t, 1-t, 3+t)$ con $t in RR$
però, almeno secondo me, non è la stessa cosa risolvere questo sistema lineare
${(x+2y+z = 7),(y+z = 4):}$ le cui soluzioni sono $L((1, -1, 1)) + (-1, 4, 0)$
ma allora dovrebbe esserci qualche relazione tra $(-1, 4, 0)$ e $(2, 1, 3)$ però io non la vedo
Risposte
Quei due vettori hanno la stessa immagine, questa può essere una relazione, non so se ti fa comodo.
Ok grazie, dubbio risolto
non avevo visto che $(2, 1, 3) = 3*(1, -1, 1) + (-1, 4, 0)$
non avevo visto che $(2, 1, 3) = 3*(1, -1, 1) + (-1, 4, 0)$
Ciao,
non capisco una cosa,
ho una matrice associata ad un applicazione lineare $((0,0,0,0),(0,0,-1/2,0),(2,2,1,0),(-1,-1,-3/2,0))$ e voglio determinare $Im(f)$,
in questo caso si vede subito che la matrice ha rango $2$ quindi $Im(f) = L((0, 0, 2, -1);(0, -1/2, 1, -3/2))$
non vedendolo però potrei arrivare a questa conclusione $((-1,-1,-3/2,0),(0,0,-2,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$ quindi $Im(f) = L((1, 1, 3/2, 0);(0, 0, -2, 0))$
dato che lo spazio generato dalle righe di una matrice è uguale a quello generato dalle sue colonne,
entrambi dovrebero essere una base per $Im(f)$ perciò i quattro vettori dovrebbero essere linearmente dipendenti,
invece non è cosi, mi sa che c'è qualcosa che non ho capito
non capisco una cosa,
ho una matrice associata ad un applicazione lineare $((0,0,0,0),(0,0,-1/2,0),(2,2,1,0),(-1,-1,-3/2,0))$ e voglio determinare $Im(f)$,
in questo caso si vede subito che la matrice ha rango $2$ quindi $Im(f) = L((0, 0, 2, -1);(0, -1/2, 1, -3/2))$
non vedendolo però potrei arrivare a questa conclusione $((-1,-1,-3/2,0),(0,0,-2,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$ quindi $Im(f) = L((1, 1, 3/2, 0);(0, 0, -2, 0))$
dato che lo spazio generato dalle righe di una matrice è uguale a quello generato dalle sue colonne,
entrambi dovrebero essere una base per $Im(f)$ perciò i quattro vettori dovrebbero essere linearmente dipendenti,
invece non è cosi, mi sa che c'è qualcosa che non ho capito
In generale non è vero che lo spazio generato dalel righe è uguale allo spazio generato dalle colonne. Prendi ad esempio questa matrice
$((1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0))$
Invece è vero che la dimensione dello spazio generato dalle righe è uguale alla dimensione dello spazio generato dalle colonne.
$((1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0))$
Invece è vero che la dimensione dello spazio generato dalle righe è uguale alla dimensione dello spazio generato dalle colonne.
Grazie Tipper,
non ci avevo mai fatto caso, perciò
$Im(f)$ è generato dalle colonne della matrice associata ad $f$
non ci avevo mai fatto caso, perciò
$Im(f)$ è generato dalle colonne della matrice associata ad $f$
Esatto. Poi, intendiamoci, ci possono essere anche dei casi in cui lo spazio generato dalle righe sia uguale allo spazio generato dalle colonne, ma questi sono solo casi particolari.
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