Applicazioni lineari

[Sk_Anonymous]

Scusate ma ho un tremendo dubbio.
La condizione per trovare il nucleo di un' applicazione lineare è che tutte le trasformazioni siano = 0.
Ma allora il determinante della matrice che ne vene fuori, deve essere = o diverso da 0.

Scusate la banalità, ma nn rieso a trovarlo tra i miei appunti

[_Tipper]

Non ho capito la domanda: il nucleo è il sottospazio lineare del dominio che ha come immagine il vettore nullo.

[Sk_Anonymous]

dunque ho un'applicazione lineare e del tipo:

f(1,0,0)=(1,1,1)
f(0,1,0)=(a,0,1)
f(0,0,1)=(1,-1,1)

devo decidere per quali valori di a questa è iniettiva e suriettiva dunque:

per l'iniettività pongo il sistema lineare:

i+j+k=0
ai-k=0
i-j+k=0

risolvo la matrice:
1 1 1
a 0 -1
1 -1 1

mi viene detA= -2a-2 ora lo devo porre o =0 o diverso da 0. La domanda è: per il nucleo deve essere = o diverso da zero???

Grazie per l'attenzione

[_Tipper]

La matrice che rappresenta l'applicazione lineare è:

$A=((1,a,1),(1,0,-1),(1,1,1))$

L'equazione cartesiana del ker (o nucleo) è data dal sistema $AX=O$, dove $X$ è il vettore delle variabili e $O \in \mathbb{R}^3$ è il vettore nullo. Se il sistema è risolto solo per $X=O$, ovvero se la matrice $A$ è invertibile, allora l'applicazione è iniettiva, ma dato che è un endomorfismo anche suriettiva, quindi invertibile.