Applicazioni lineari
Ciao a tutti, ho un problema, sicuramente per voi abbastanza banale, che però non ho ancora bene afferrato (sarà il caldo) 
In particolare ho questa domanda da farvi:
Perchè se a un'applicazione lineare voglio associare una matrice, devo prima definire sia la base del dominio che quella del codominio? in modo particolare, perchè se cambio una delle due basi (o entrambe) la matrice cambia? Potete farmi degli esempi magari su quest'applicazione:
f : $RR^3 -> RR^3$
f(x,y,z)=(x, 7x + 2y + 2z, x + z)
GRAZIE.....
In particolare ho questa domanda da farvi:
Perchè se a un'applicazione lineare voglio associare una matrice, devo prima definire sia la base del dominio che quella del codominio? in modo particolare, perchè se cambio una delle due basi (o entrambe) la matrice cambia? Potete farmi degli esempi magari su quest'applicazione:
f : $RR^3 -> RR^3$
f(x,y,z)=(x, 7x + 2y + 2z, x + z)
GRAZIE.....
Risposte
La matrice che rappresenta l'applicazione rispetto ai versori fondamentali U dello spazio è:
$A_U^U=((1,0,0),(7,2,2),(1,0,1))$
Supponiamo di considerare un'altra base, ad esempio la base E formata dai vettori $(1, 0, 0)$, $(1, 1, 0)$ e $(1, 1, 1)$.
La matrice che fa passare dalla vecchia base alla nuova base è quella che ha per colonne i vettori della nuova base (rispetto alla vacchia), in questo caso la matrice di cambio di coordinate vale:
$C_E^U=((1,1,1),(0,1,1),(0,0,1))$
La matrice che rappresenta l'applicazione rispetto alla nuova base è data da:
$C^(-1) A C$ che si può scrivere anche come:
$C_U^E$ $A_U^U$ $C_E^U$
Come vedi quindi si elidono gli elementi in basso a sinistra e in alto a destra.
$A_U^U=((1,0,0),(7,2,2),(1,0,1))$
Supponiamo di considerare un'altra base, ad esempio la base E formata dai vettori $(1, 0, 0)$, $(1, 1, 0)$ e $(1, 1, 1)$.
La matrice che fa passare dalla vecchia base alla nuova base è quella che ha per colonne i vettori della nuova base (rispetto alla vacchia), in questo caso la matrice di cambio di coordinate vale:
$C_E^U=((1,1,1),(0,1,1),(0,0,1))$
La matrice che rappresenta l'applicazione rispetto alla nuova base è data da:
$C^(-1) A C$ che si può scrivere anche come:
$C_U^E$ $A_U^U$ $C_E^U$
Come vedi quindi si elidono gli elementi in basso a sinistra e in alto a destra.
Ciao a tutti,
Mi potete dire cortesemente qual'è lo scopo della diagonalizzazione? cioè che cosa c'è ne facciamo di una matrice diagonale???
GRAZIE.........
Mi potete dire cortesemente qual'è lo scopo della diagonalizzazione? cioè che cosa c'è ne facciamo di una matrice diagonale???
GRAZIE.........
Ad esempio se hai un sistema lineare del tipo $Ax = b$ da risolvere e riesci a trasformare la matrice A in matrice diagonale , allora la soluzione del sistema è semplicissima in quanto ogni riga del sistema coinvolge una sola incognita; le incognite sono quindi separate.
Es. se sei riuscito a trasformare il sistema iniziale in questo:
$((2,0,0),(0,3,0),(0,0,7))$ $(x,y,z)$ = $ ( 10,18,21 ) $
che è poi questo :
$2x = 10 $
$3y=18$
$7z = 21$
ottieni subito la soluzione :
$x=5;y=6; z=7$
Analogo ma più interessante il caso di un sistema di equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti del primo ordine:
$(dx(t))/dt = A x $ .
essendo$ x=(x_1(t),x_2(t),.....x_n(t))$ il vettore delle funzioni incognite e A la matrice dei coefficienti.
Il problema è che la derivata di ciascuna funzione incognita dipende da tutte le altre attraverso la matrice dei coefficienti A.
Bene : se la matrice A è diagonalizzabile allora si arriva alla soluzione del sistema in modo semplice ed efficace in quanto adesso la derivata di ogni funzione incognita dipende solo dalla funzione incognita stessa tramite un coefficiente di proporzionalità ( i coefficienti di proporzionalità non sono altro che gli elementi della diagonale principale della matrice diagonale simile alla matrice A ).
Si dimostra che se la matrice A è diagonalizzabile , $lambda_i$ sono gli autovalori di A , i vettori $ v_i $ sono gli autovettori relativi , allora ogni soluzione del sistema :
$ x' = A x $ è del tipo :
$x = sum _(i=1)^n alpha_i*e^(lambda_i*t)*v_i $
Es. se sei riuscito a trasformare il sistema iniziale in questo:
$((2,0,0),(0,3,0),(0,0,7))$ $(x,y,z)$ = $ ( 10,18,21 ) $
che è poi questo :
$2x = 10 $
$3y=18$
$7z = 21$
ottieni subito la soluzione :
$x=5;y=6; z=7$
Analogo ma più interessante il caso di un sistema di equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti del primo ordine:
$(dx(t))/dt = A x $ .
essendo$ x=(x_1(t),x_2(t),.....x_n(t))$ il vettore delle funzioni incognite e A la matrice dei coefficienti.
Il problema è che la derivata di ciascuna funzione incognita dipende da tutte le altre attraverso la matrice dei coefficienti A.
Bene : se la matrice A è diagonalizzabile allora si arriva alla soluzione del sistema in modo semplice ed efficace in quanto adesso la derivata di ogni funzione incognita dipende solo dalla funzione incognita stessa tramite un coefficiente di proporzionalità ( i coefficienti di proporzionalità non sono altro che gli elementi della diagonale principale della matrice diagonale simile alla matrice A ).
Si dimostra che se la matrice A è diagonalizzabile , $lambda_i$ sono gli autovalori di A , i vettori $ v_i $ sono gli autovettori relativi , allora ogni soluzione del sistema :
$ x' = A x $ è del tipo :
$x = sum _(i=1)^n alpha_i*e^(lambda_i*t)*v_i $
Ciao a tutti!!! RISPONDETEMI (per favore) 
Perchè se $f$ è un isomorfismo la matrice associata, A, è invertibile????
mentre se non è un isomorfismo la matrice non è invertibile????
GRAZIE........
Perchè se $f$ è un isomorfismo la matrice associata, A, è invertibile????
mentre se non è un isomorfismo la matrice non è invertibile????
GRAZIE........
Se $f$ è un isomorfismo allora è invertibile, ossia esiste un'applicazione $g$ tale che $f \circ g = I$, dove con $I$ indico, ovviamente, l'applicazione identità.
Sia $A$ la matrice che rappresenta $f$ e $B$ la matrice che rappresenta $g$, allora deve risultare $A*B = I$, ovvero $B = A^(-1)$, quindi $A$ è invertibile e la sua inversa coindice con $B$.
Sia $A$ la matrice che rappresenta $f$ e $B$ la matrice che rappresenta $g$, allora deve risultare $A*B = I$, ovvero $B = A^(-1)$, quindi $A$ è invertibile e la sua inversa coindice con $B$.
Sia A una matrice $n x n$ sul campo $K$. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
1) A è invertibile
2) L'applicazione lineare $F : K^n -> K^n $ tale che $A = M(F) $ è un isomorfismo
3) Le colonne di A sono linearmente indipendenti, ovvero $rk(A) = n.
Poichè
$M:End(K^n) -> M_{k}(n x n)$ è un isomorfismo, la matrice $A = M (F)$ sarà invertibile se e solo se $F$ è invertibile in $End(K^n)$.
Ma gli elementi invertibili di $End(K^n)$ sono chiaramente applicazioni lineari biiettive cioè gli isomorfismi di $K^n$ in sè.
Questo prova che 1 <=> 2.
spero di essere stato chiaro.
ciao
1) A è invertibile
2) L'applicazione lineare $F : K^n -> K^n $ tale che $A = M(F) $ è un isomorfismo
3) Le colonne di A sono linearmente indipendenti, ovvero $rk(A) = n.
Poichè
$M:End(K^n) -> M_{k}(n x n)$ è un isomorfismo, la matrice $A = M (F)$ sarà invertibile se e solo se $F$ è invertibile in $End(K^n)$.
Ma gli elementi invertibili di $End(K^n)$ sono chiaramente applicazioni lineari biiettive cioè gli isomorfismi di $K^n$ in sè.
Questo prova che 1 <=> 2.
spero di essere stato chiaro.
ciao
Ciao, grazie per avermi aiutato
Ho un altro problemino, non riesco a risolvere questi esercizi:
1) Sapendo che la matrice A a coeffcienti reali ha l’autovalore c = -1 e che
$A^2$ = - A, è possibile determinare la matrice A?
2)Sapendo che la matrice A a coeffcienti reali ha l’autovalore c = 2 e che
A è diagonalizzabile, è possibile che $A^2$ = 4A? Perchè?
C'è qualcuno che potrebbe aiutarmi?!?!?!? GRAZIE........
Ho un altro problemino, non riesco a risolvere questi esercizi:
1) Sapendo che la matrice A a coeffcienti reali ha l’autovalore c = -1 e che
$A^2$ = - A, è possibile determinare la matrice A?
2)Sapendo che la matrice A a coeffcienti reali ha l’autovalore c = 2 e che
A è diagonalizzabile, è possibile che $A^2$ = 4A? Perchè?
C'è qualcuno che potrebbe aiutarmi?!?!?!? GRAZIE........
Vi prego AIUTATEMI 
non sò come procedere, non riesco a risolvere questi esercizi:
1) Sapendo che la matrice A a coeffcienti reali ha l’autovalore c = -1 e che
$A^2$ = - A, è possibile determinare la matrice A?
2)Sapendo che la matrice A a coeffcienti reali ha l’autovalore c = 2 e che
A è diagonalizzabile, è possibile che $A^2$ = 4A? Perchè?
C'è qualcuno che potrebbe aiutarmi?!?!?!? GRAZIE........
non sò come procedere, non riesco a risolvere questi esercizi:
1) Sapendo che la matrice A a coeffcienti reali ha l’autovalore c = -1 e che
$A^2$ = - A, è possibile determinare la matrice A?
2)Sapendo che la matrice A a coeffcienti reali ha l’autovalore c = 2 e che
A è diagonalizzabile, è possibile che $A^2$ = 4A? Perchè?
C'è qualcuno che potrebbe aiutarmi?!?!?!? GRAZIE........
PROVO CON IL N. 1 )
$A^2 = -A $ da cui :
$A^2+A=0$ e quindi :
$A*(A+I) = 0 $
Due soluzioni :
$A=0 $ , cioè la matrice nulla che però ha autovalori nulli e quindi non soddisfa il problema
oppure :
$ A = -I $ che soddisfa il problema avendo autovalori = -1 .
Ad esempio per n = 2 la matrice A vale :
$A =((-1,0),(0,-1))$
Il suo polinomio caratteristico è : $ (1+lambda)^2 $ con autovalore : -1 doppio.
$A^2 = -A $ da cui :
$A^2+A=0$ e quindi :
$A*(A+I) = 0 $
Due soluzioni :
$A=0 $ , cioè la matrice nulla che però ha autovalori nulli e quindi non soddisfa il problema
oppure :
$ A = -I $ che soddisfa il problema avendo autovalori = -1 .
Ad esempio per n = 2 la matrice A vale :
$A =((-1,0),(0,-1))$
Il suo polinomio caratteristico è : $ (1+lambda)^2 $ con autovalore : -1 doppio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo