Applicazioni lineari

[Pivot1]

Ciao a tutti.

Volevo chiedervi un quesito di algebra lineare. So che è banale, ma in questo momento proprio non mi torna!!!

Si condideri un'applicazione lineare F: R^4-->R^2 tale che (x,y,z,t) --> (2x - y, z + t).

2) Determinare due vettori v_1 e v_2 di R^4 tale che risulti: F(v_1) = (1,0) e F(v_2) = (0,1)

Grazie a tutti.

[Principe2]

prova a impostare due sistemi dove i vettori dei termini noti sono
(1,0) e (0,1)... le soluzioni saranno i vettori che cerchi

[Pivot1]

ok grazie. Ma avrei un altra domanda!!!

Qual'è la struttura di una matrice ortogonale A di M_(R)?

Ora so che una matrice è ortogonale se e soltanto se A per la sua trasposta mi da la matrice identità.

Sono arricato al sistema

x^2 + y^2 = z^2 + t^2 = 1
xz= - yt

Coma si procede ora?
La seconda equazione basta per concludare che le due matrici hanno la forma:

+ +
+ -

e

+ -
+ +

[Principe2]

$((cos(\alpha),sin(\alpha)),(-sin(\alpha),cos(\alpha)))$ quelle che preservano l'orientamento
e col "-" davanti quelle che lo invertono...

mi sembra di ricordare che sia cosi

nel sistema cui sei arrivato puoi osservare che x,y,z,t descrivono punti
su una circonferenza unitaria e quindi li puoi scrivere in termini di angoli..
però mi pare che manchi un'equazione là...

[Pivot1]

Scusami ma non ti seguo. Che cosa significa

$((cos(\alpha),sin(\alpha)),(-sin(\alpha),cos(\alpha)))$ quelle che preservano l'orientamento
e col "-" davanti quelle che lo invertono...

il sistema effettivo è:

x^2 + y^2 = 1
xz + yt = 0
zx + ty = 0
z^2 + t^2 = 1

[Principe2]

non hai chiesto quali sono le matrici ortogonali di ordine 2?
sono di quei due tipi al variare dell'angolo $\alpha$...
preservare l'orientamento significa che se pensi quelle
matrici come trasformazione lineare del piano allora
mandano una base ortonormale in un'altra ortonormale
orientata nello stesso modo.

[Pivot1]

ok grazie. alla prossima ciao