Applicazioni lineari

[Evisu86]

Stabilire se esiste un' applicazione lineare f:R^3->R^4 che abbia la
seguente proprietà:
ker(f)=span((1,0,1),(2,-1,0))

Non riesco a proseguire nella risoluzione di questo esercizio.
Il generico vettore dello spazio generato è

a1 + 2a2
-a2
a1
con a1 ed a2 che variano in R.
Per risolvere l'esercizio se ho ben capito devo trovare un applicazione
lineare nella quale tutti i vettori che hanno la forma di cui sopra devono
andare al vettore nullo.
Potreste darmi una dritta ?
In generale non mi è ben chiaro come si puo trovare l'applicazione lineare
in maniera generica quando vengono date solo alcune "istanze" di essa.
Grazie

[leev]

Lo spazio generato non dovrebbe essere sottoinsieme di R^4?!?

[Evisu86]

"leev":Lo spazio generato non dovrebbe essere sottoinsieme di R^4?!?

Per spazio generato intendevo quello dei due vettori, che non è detto sia sottoinsieme di R^4. Semplicemente il nucleo dell'applicazione lineare da trovare è uguale al sottospazio generato da quei due vettori, e quindi ha dimensione 2 (essendo i due vettori linearmente indipendenti).
Dal noto teorema nullità piu rango segue che la dimensione dell immagine dell'applicazione lineare cercata è 1; credo che la chiave dell'esercizio stia proprio in quest'ultima considerazione, tuttavia non riesco ancora a proseguire

[leev]

Essendo i due vettori linearmente indipendenti, per il teorema della base incompleta ( o qc d simile) puoi trovare un terzo vettore tale ke i 3 vettori formino una base di R^3; dunque definisci l'applicazione lineare f in funzioni dei tre vettori: per i primi due appartenenti al nucleo, hai f(v1)=f(v2)=0 e per il terzo f(v3)=a , dove a è un vettore qualsiasi (diverso da 0) di R^4.
Il rango è evidentemente 1.

Oppure più esplicitamente:
esprimi ttt rispetto alla base canonica in R^3.
E definisci f: R^3 -> R^4
come f(x,y,z)=(x+2y-z)*a
con a in R^4 diverso da 0

Ciao!