Applicazioni Lineari

[MissFoxy394]

Bisogna dire se le seguenti applicazioni lineari sono lineari o meno.

$ f: R^2 rarr R^3 $

1. $ f(x,y) = (x, y, x + y) $
2. $ f(x,y) = (x, y, xy) $



1.
Cerco di applicare le condizioni di una applicazioni lineare:
$ f(lambdav) = lambdaf(v) $

siamo in $R^2$:
$ v = (v1, v2) $

$ f(lambdav) = f(lambda v1, lambda v2)= (lambdav1,lambdav2,lambdav1+ lambdav2) $
$ lambdaf(v) = lambdaf(v1, v2) = lambda( v1, v2, v1 + v2)= (lambdav1, lambdav2, lambdav1 + lambda v2) $

Una condizione c'è, volendo provare anche l'altra ( $ f(v + u) = f(v) + f(u) $ ).
Io ho provato impostandola così: $ f(v1 + u1, v1 + u2) = f(v1, v2) + f(u1, u2) $ , è giusta? Da questa concludo che 1. è lineare.

2.

siamo in $R^2$, quindi:
$ v = (v1, v2) $

$ f(lambdav) = f(lambda v1, lambda v2)= (lambdav1,lambdav2,(lambda^2) v1 v2) $
$ lambdaf(v) = lambdaf(v1, v2) = lambda( v1, v2, v1 v2)= (lambdav1, lambdav2, lambdav1 lambda v2) $

Da qui già si capisce che 2. non è lineare, ma volendo provare l'altra condizione per curiosità, l'ho impostata così:
$ f(v + u) = f( v1 + u1, v2 + u2) $ e $f(v) + f(u) = f(v1,v2) +f(u1, u2) $ è giusto impostarlo così?

[Bokonon]

Scrivi direttamente il caso generale, no?
Prendi due vettori
$ lambda_1 hat(u)= ( ( lambda_1u_1 ),( lambda_1u_2 ) ) $
$ lambda_2 hat(v)= ( ( lambda_2v_1 ),( lambda_2v_2 ) ) $
$ lambda_1 hat(u)+lambda_2 hat(v)= ( ( lambda_1u_1+lambda_2v_1 ),( lambda_1u_2+lambda_2v_2 ) ) $

Primo caso
$f(lambda_1 hat(u))+f(lambda_2 hat(v))=( ( lambda_1u_1 ),(lambda_1u_2 ),( lambda_1u_1+lambda_1u_2 ) )+( ( lambda_2v_1 ),(lambda_2v_2 ),( lambda_2v_1+lambda_2v_2 ) )= ( ( lambda_1u_1+ lambda_2v_1 ),(lambda_1u_2 + lambda_2v_2 ),( lambda_1u_1+lambda_1u_2+ lambda_2v_1+lambda_2v_2) )$
$f(lambda_1 hat(u)+lambda_2 hat(v))=( ( lambda_1u_1+ lambda_2v_1 ),(lambda_1u_2 + lambda_2v_2 ),( lambda_1u_1+lambda_1u_2+ lambda_2v_1+lambda_2v_2) )$
Quindi è lineare.

Il secondo non lo scrivo ma non è lineare

[MissFoxy394]

L'ho scritto separato proprio per capire se lo impostavo bene, grazie comunque