Applicazioni lineari

[pietro1231]

Esiste un'applicazione lineare $T:R^3 -> R^3$ tale che $T(e_1,e_3)=5e_1+e_2+e_3$ , $T(e_2,e_3)=5e_2+e_3$ , $T(2e_1+e_2+e_3)=2e_2+5e_3$ ? Dove $e_1,e_2,e_3$ è la base canonica di $R^3$

Vediamo se ho capito:
$e_1=(1,0,0)$
$e_2=(0,1,0)$
$e_3=(0,0,1)$
Quindi :
$T(e_1-e_3)=T(1,0,-1)=(5,1,1)$
$T(e_2+e_3)=T(0,1,1)=(0,5,1)$
$T(2e_1+e_2-e_3)=T(2,1,-1)=(0,2,5)$

Quindi esiste un $T:R^3 -> R^3$ : $T((x),(y),(z))={x(5,1,1)+y(0,5,1)+z(0,2,5)}$
Quindi l'applicazione lineare generica sarà:
$T((x),(y),(z))=(5x,x+5y+2z,x+y+5z)$

è giusto?

[feddy]

Perché un'applicazione lineare esista, i vettori su cui definisci l'applicazione devono essere una base per il dominio. I tuoi lo sono?

[pietro1231]

"feddy":Perché un'applicazione lineare esista, i vettori su cui definisci l'applicazione devono essere una base per il dominio. I tuoi lo sono?

Effettivamente adesso che me lo fai notare $((1,0,2),(0,1,1),(-1,1,-1))$ ha rango 2, quindi non è una base di $R^3$
Quindi una volta arrivato che mi sono ricavato i vettori avrei dovuto verificare se il rango era massimo.. giusto?

[feddy]

C'è un teorema di esistenza e unicità per le applicazioni lineari. Dovresti averlo fatto.

Comunque è esatto, i vettori sono linearmente dipendenti.

[pietro1231]

"feddy":C'è un teorema di esistenza e unicità per le applicazioni lineari. Dovresti averlo fatto.

Comunque è esatto, i vettori sono linearmente dipendenti.

Sisi e che preso dall'impeto di finire l'esercizio, non ho verificato se fosse una base di $R^3$

[feddy]

In realtà era la prima cosa da fare. Invece hai trovato al definizione dell'applicazione, quando in realtà non ti era stata richiesta ! La conoscenza della teoria, per algebra lineare, è più fondamentale che mai

[pietro1231]

"feddy":In realtà era la prima cosa da fare. Invece hai trovato al definizione dell'applicazione, quando in realtà non ti era stata richiesta ! La conoscenza della teoria, per algebra lineare, è più fondamentale che mai

Si me ne sto rendendo conto sempre più...
Grazie mille per avermi risposto

[feddy]

Prego