Applicazioni lineari

[pietro1231]

Esistono applicazioni lineari iniettive da $R_5[t]$ a $M_(2,3)(R)$?

Dalla teoria so che un'applicazione lineare è iniettiva se il $Ker(V)=0$
Ma in questo caso?

Che faccio? Tiro fuori un'applicazione lineare ideata da me affinchè il $Ker(V)=0$?
E se fosse così, in che modo tiro fuori un'applicazione lineare tale da soddisfare questo valore?

[Shocker1]

Per il teorema delle dimensioni se $f:\mathbb{R_5}[t] \to M(2, 3, \mathbb{R})$ è un'applicazione lineare allora $dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(\mathbb{R_5}[t])$.
Sapendo ciò, riesci a continuare? Se $f$ è iniettiva la formula cosa ti dice?

[pietro1231]

"Shocker":Per il teorema delle dimensioni se $f:\mathbb{R_5}[t] \to M(2, 3, \mathbb{R})$ è un'applicazione lineare allora $dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(\mathbb{R_5}[t])$.
Sapendo ciò, riesci a continuare? Se $f$ è iniettiva la formula cosa ti dice?

Essendo iniettiva il $dim(Ker(f))=0$ quindi la dimensione $dim(Im(f))=dim(R_5[t])=5$
Grazie mille

[Shocker1]

No, $dim(\mathbb{R_5}[t]) = 6$, adesso sai che $dim(Im(f)) = 6$. Quindi quest'applicazione esiste o non esiste? E se esiste, riesci a trovarne un esempio?

[pietro1231]

"Shocker":No, dim(\mathbb{R_5}[t]) = 6$, adesso sai che $dim(Im(f)) = 6$. Quindi quest'applicazione esiste o non esiste? E se esiste, riesci a trovarne un esempio?

Si scusami... $dim\mathbb{R_5}[t]=6$ perché per l'isomorfismo sappiamo che $\mathbb{R_5}[t]$ diventa $\mathbb{R^6}$. Giusto?
Quindi la dimensione diventa $6$.

$M_(2,3)(R)$ intende una matrice di $2x3$?

[Shocker1]

"pietro123":[quote="Shocker"]No, dim(\mathbb{R_5}[t]) = 6$, adesso sai che $dim(Im(f)) = 6$. Quindi quest'applicazione esiste o non esiste? E se esiste, riesci a trovarne un esempio?

Si scusami... $dim\mathbb{R_5}[t]=6$ perché per l'isomorfismo sappiamo che $\mathbb{R_5}[t]$ diventa $\mathbb{R^6}$. Giusto?
Quindi la dimensione diventa $6$.

$M_(2,3)(R)$ intende una matrice di $2x3$?[/quote]
Non è che diventa $\mathbb{R^6}$, si dice che è isomorfo come spazio vettoriale a $\mathbb{R^6}$(cioè che esiste un isomorfismo fra $\mathtbb{R_5[t]}$ e $\mathbb{R^6}$).

Per la seconda domanda: $M_(2,3)(R)$ è lo spazio delle matrici $2 xx 3 $ a coefficienti reali.

[pietro1231]

"Shocker":[quote="pietro123"][quote="Shocker"]No, dim(\mathbb{R_5}[t]) = 6$, adesso sai che $dim(Im(f)) = 6$. Quindi quest'applicazione esiste o non esiste? E se esiste, riesci a trovarne un esempio?

Si scusami... $dim\mathbb{R_5}[t]=6$ perché per l'isomorfismo sappiamo che $\mathbb{R_5}[t]$ diventa $\mathbb{R^6}$. Giusto?
Quindi la dimensione diventa $6$.

$M_(2,3)(R)$ intende una matrice di $2x3$?[/quote]
Non è che diventa $\mathbb{R^6}$, si dice che è isomorfo come spazio vettoriale a $\mathbb{R^6}$(cioè che esiste un isomorfismo fra $\mathtbb{R_5[t]}$ e $\mathbb{R^6}$).

Per la seconda domanda: $M_(2,3)(R)$ è lo spazio delle matrici $2 xx 3 $ a coefficienti reali.[/quote]

Quindi, corregimi se sbaglio, posso vedere questa applicazione lineare come $R^6 -> R^6$ Perché la forma $R_(2,3)$ può essere vista come $R^(2*3)$ quindi $R^6$ Giusto?
Ma detto questo come rispondo alla domanda?

[Shocker1]

Eh dimmelo tu, hai tutti gli elementi per rispondere. Riflettici su, non è difficile, rifletti: su che cos'è un'applicazione lineare, su come è possibile definire un'applicazione lineare definendo i suoi valori su una base del dominio, su cosa accade quando un'applicazione è iniettiva. Se proprio non riesci ti do qualche altro indizio.

[pietro1231]

"Shocker":Eh dimmelo tu, hai tutti gli elementi per rispondere. Riflettici su, non è difficile, rifletti: su che cos'è un'applicazione lineare, su come è possibile definire un'applicazione lineare definendo i suoi valori su una base del dominio, su cosa accade quando un'applicazione è iniettiva. Se proprio non riesci ti do qualche altro indizio.

Definiamo un'applicazione lineare $f:V -> V'$ tale che:
$f(u+v)=f(u)+f(v)$ per ogni $u,v \in V$
$f(av)=af(v)$ per ogni $a\inR$ e $v\inV$

Un'applicazione lineare è iniettiva se $dim(Ker(V))=0$

[Shocker1]

"pietro123":[quote="Shocker"]Eh dimmelo tu, hai tutti gli elementi per rispondere. Riflettici su, non è difficile, rifletti: su che cos'è un'applicazione lineare, su come è possibile definire un'applicazione lineare definendo i suoi valori su una base del dominio, su cosa accade quando un'applicazione è iniettiva. Se proprio non riesci ti do qualche altro indizio.

Definiamo un'applicazione lineare $f:V -> V'$ tale che:
$f(u+v)=f(u)+f(v)$ per ogni $u,v \in V$
$f(av)=af(v)$ per ogni $a\inR$ e $v\inV$

Un'applicazione lineare è iniettiva se $dim(Ker(V))=0$[/quote]
Ok ma ti ricordo che data una base $B = {v_1, ..., v_n}$ di $V$ un'appicazione lineare $f: V \to W$ è completamente determinata una volta fissati i valori di $f$ su $B$. Inoltre il fatto che $dim(Ker(f)) = 0$ implica che $f$ manda vettori linearmente indipendenti in vettori linearmente indipendenti, alla luce di ciò: i due spazi in esame hanno la stessa dimensione, quindi presa una base $B = {v_1, ..., v_6}$ del dominio e una base $B' = {w_1, ..., w_6}$ del codominio segue che $f:\mathbb{R_5}[t] \to M(2, 3, \mathbb{R}) $ definita come $f(v_i) = w_i$ dove $v_i \in B$ e $w_i \in B'$ è lineare ed è iniettiva. A te l'onere di sporcarti le mani e costruire un esempio concreto di $f$.

In generale se $V$ è uno spazio di dimensione $n$ e $W$ è uno spazio di dimensione $m$ allora:
se $n < m$ è possibile costruire un'applicazione lineare iniettiva ma non suriettiva;
se $n > m$ è possibile costruire un'applicazione lineare suriettiva ma non iniettiva;
se $n = m$ allora i due spazi sono isomorfi, cioè esiste un'applicazione lineare bigettiva fra $V$ e $W$.