Applicazioni lineari
Sia $T:\mathbb{R}_3 [t] \rightarrow \mathbb{R}^2 $ tale che $T(p(t))=((p(1)),(p'(2)))$
1. Trova una base ortonormale di $V=KerT$ rispetto al prodotto scalare standard su $\mathbb{R}_3 [t]$
2. Trova equazioni cartesiane e parametriche dello spazio $V^\bot$
3. scrivi la matrice associata alla proiezione ortogonale $Pv:\mathbb{R}_3 [t] \rightarrow \mathbb{R}_3 [t]$ a tua scelta
Per prima cosa ho applicato l'isomorfismo $\mathbb{R}_n [t] \rightarrow \mathbb{R}^(n+1)[t] $
in modo da avere $\mathbb{R}_3 [t] \rightarrow \mathbb{R}^4[t] $ quindi $p(t)=a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3$
quindi $p(1)=a_0 + a_1 + a_2 + a_3$ e $p'(2)=a_1 + 4a_2 + 12a_3$
Ho calcolato la matrice associata attraverso la base canonica $\mathbb{R}^4$ ottenendo $A=((1,1,1,1),(0,1,4,12))$
Dopo di questo non riesco più ad andare avanti...
Il concetto di base ortonormale non riesco ad applicarlo... e in più la matrice associata alla proiezione ortogonale è la stessa matrice $A$ che ho calcolato?
Grazie in anticipo
1. Trova una base ortonormale di $V=KerT$ rispetto al prodotto scalare standard su $\mathbb{R}_3 [t]$
2. Trova equazioni cartesiane e parametriche dello spazio $V^\bot$
3. scrivi la matrice associata alla proiezione ortogonale $Pv:\mathbb{R}_3 [t] \rightarrow \mathbb{R}_3 [t]$ a tua scelta
Per prima cosa ho applicato l'isomorfismo $\mathbb{R}_n [t] \rightarrow \mathbb{R}^(n+1)[t] $
in modo da avere $\mathbb{R}_3 [t] \rightarrow \mathbb{R}^4[t] $ quindi $p(t)=a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3$
quindi $p(1)=a_0 + a_1 + a_2 + a_3$ e $p'(2)=a_1 + 4a_2 + 12a_3$
Ho calcolato la matrice associata attraverso la base canonica $\mathbb{R}^4$ ottenendo $A=((1,1,1,1),(0,1,4,12))$
Dopo di questo non riesco più ad andare avanti...
Il concetto di base ortonormale non riesco ad applicarlo... e in più la matrice associata alla proiezione ortogonale è la stessa matrice $A$ che ho calcolato?
Grazie in anticipo
Risposte
Per determinare il nucleo, devi trovare i polinomi $p(t)$ per cui accade che $p(1)=0,\ p'(2)=0$. Una volta scritte queste due condizioni avrai un sistema di equazioni lineari che risolto ti permetterà di determinare la forma generale dei polinomi di base. Una volta trovata una base, potrai ortonormalizzarla con il metodo di Graham-Schmidt.
"ciampax":
Per determinare il nucleo, devi trovare i polinomi $p(t)$ per cui accade che $p(1)=0,\ p'(2)=0$. Una volta scritte queste due condizioni avrai un sistema di equazioni lineari che risolto ti permetterà di determinare la forma generale dei polinomi di base. Una volta trovata una base, potrai ortonormalizzarla con il metodo di Graham-Schmidt.
Avevo già calcolato il nucleo e anche l'immagine. Adesso devo solo ortonormalizzarla...
Ma, invece, per quanto riguarda le altre due domande?
Come procedo?
Una volta ortonormalizzata la base di $V$, (che ha dimensione 2), devi trovare due polinomi che risultino ortogonali ad entrambi i polinomi di base di $V$, e che quindi risultino polinomi per la base di $V^\bot$. Da questi, dovresti essere in grado di trovare l'equazione cartesiana dello spazio.
"ciampax":
Una volta ortonormalizzata la base di $V$, (che ha dimensione 2), devi trovare due polinomi che risultino ortogonali ad entrambi i polinomi di base di $V$, e che quindi risultino polinomi per la base di $V^\bot$. Da questi, dovresti essere in grado di trovare l'equazione cartesiana dello spazio.
Vediamo se ho capito:
Una volta calcolata la matrice associata $A=((1,1,1,1),(0,1,4,12))$
trovo il nucleo $Ker(T)={(1,-2,1,0),(11,-12,0,1)}$ perché la $dim(Ker(T))=2$ essendo il $Rg(A)=2$ e il numero delle incognite $4$.
$w_1=(1,-2,1,0)$
$w_2=(11,-12,0,1)$
Fatto questo, suppendo che i calcoli siano giusti, mi ricavo la base ortonormale del nucleo rispetto al prodotto caninico con Gram-Schmidt:
$u_1=w_1=(1,-2,1,0)$
$u_2=w_2-pr_(u_1)(w_2)=(16,-70,34,3)$
Quindi $B={(1,-2,1,0),(16,-70,34,3)}$
fatto questo calcolo $V^\perp $ ponendo i due vettori trovati uguali a zero?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo