Applicazioni lineari
Salve ragazzi,ho un problema con questo esercizio data la matrice A 0 0 0
-3 0 0
1 0 0
calcolare una base per il nucleo ed una base per l’immagine dell’applicazione lineare ad essa associata nella base canonica di R3. So calcolare la base del nucleo e di un immagine ma quello che non ho capito è che se devo ancora trasformare la matrice o meno.
-3 0 0
1 0 0
calcolare una base per il nucleo ed una base per l’immagine dell’applicazione lineare ad essa associata nella base canonica di R3. So calcolare la base del nucleo e di un immagine ma quello che non ho capito è che se devo ancora trasformare la matrice o meno.
Risposte
"oligo":scrivi quello che hai fatto
Salve ragazzi,ho un problema con questo esercizio data la matrice \(A:=\begin{Vmatrix}
0 &0 &0\\
-3 &0 & 0\\
1 &0& 0
\end{Vmatrix}\) calcolare una base per il nucleo ed una base per l’immagine dell’applicazione lineare ad essa associata nella base canonica di \(\Bbb{R}^3\). So calcolare la base del nucleo e di un immagine ma quello che non ho capito è che se devo ancora trasformare la matrice o meno.
il problema che non lo sò io prenderei i vettori in colonna che dovrebbero rappresentare la base dell'immagine e per il kernel invece risolvo il sistema omogeneo dovrei trova i risultati che rappresenta la base
da quanto ho capito si dovrebbe trasformare quelal matrice con la base canonica se è così sapresti spiegarmi come si fa?
Quella matrice penso sia espressa rispetto alla base canonica dato che non è stato fatto riferimento a nessuna base specifica. Comunque
\(\displaystyle \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha \\ \beta \\ \gamma\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\alpha + 0\beta + 0\gamma \\ -3\alpha + 0\beta + 0\gamma \\ 1\alpha + 0\beta + 0\gamma\end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix}0 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix} \)
è piuttosto esplicativo del modo in cui funziona l'applicazione e di cosa tu possa scegliere come base del kernel e dell'immagine. Non ti sembra?
Studiare matematica non vuol dire solo studiarsi metodi predeterminati per risolvere predeterminati esercizi, sarebbe opportuno cercare di capire i termini e non solo imparare la terminologia
.
\(\displaystyle \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha \\ \beta \\ \gamma\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\alpha + 0\beta + 0\gamma \\ -3\alpha + 0\beta + 0\gamma \\ 1\alpha + 0\beta + 0\gamma\end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix}0 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix} \)
è piuttosto esplicativo del modo in cui funziona l'applicazione e di cosa tu possa scegliere come base del kernel e dell'immagine. Non ti sembra?
Studiare matematica non vuol dire solo studiarsi metodi predeterminati per risolvere predeterminati esercizi, sarebbe opportuno cercare di capire i termini e non solo imparare la terminologia
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grazie per la risposta,sapresto dirmi quando viene data la matrice come si fa a trasformarla rispetto alla sua base canonica?
Dimenticati la base canonica, qualsiasi sia la base (anzi le basi) attraverso cui la matrice è espressa tu puoi rappresentare la soluzione attraverso quella base. Ogni base è equivalente ad un'altra.
In genere se non è segnalata una base allora puoi dare per scontato di star lavorando con la base canonica. Detto questo senza conoscere i vettori in cui è espressa la matrice non vi è modo di passare all'espressione in base canonica.
Ti suggerisco di concentrarti sull'esercizio. Quella è la matrice rispetto alla base canonica, cosa fai dopo[nota]Premesso comunque che cambiare base è, in genere, l'ultima cosa che si fa dato che richiede in genere di invertire una matrice e di fare due moltiplicazioni matriciali. È spesso meglio cambiare la base alle soluzioni.[/nota]?
In genere se non è segnalata una base allora puoi dare per scontato di star lavorando con la base canonica. Detto questo senza conoscere i vettori in cui è espressa la matrice non vi è modo di passare all'espressione in base canonica.
Ti suggerisco di concentrarti sull'esercizio. Quella è la matrice rispetto alla base canonica, cosa fai dopo[nota]Premesso comunque che cambiare base è, in genere, l'ultima cosa che si fa dato che richiede in genere di invertire una matrice e di fare due moltiplicazioni matriciali. È spesso meglio cambiare la base alle soluzioni.[/nota]?
io prenderei i vettori in colonna e prenderei quelli linearmente indipendenti per vedere qual'è la base della funzione
L'esercizio lo stai facendo tu, non esistono prenderei e cose simili. Se una cosa la faresti allora falla. Considerando che lo spazio delle colonne ha 3 vettori di cui due nulli, direi che se l'avessi fatto allora lo avresti risolto.È abbastanza immediato anche il kernel. Qual è?
prima di tutto verifico se c'è con il teorema dim v=dimi (imgf) + dim(ker) quindi il dim del ker=dim(v)-dim imf
quindi 3 -1 = 2 quindi la dim del ker è 2 ora riduco a scala la matrice e lavoro con il sistema omogeneo ottenuto la soluzione è la base del ker giusto?
quindi 3 -1 = 2 quindi la dim del ker è 2 ora riduco a scala la matrice e lavoro con il sistema omogeneo ottenuto la soluzione è la base del ker giusto?
Ovviamente puoi fare così o più semplicemente puoi notare che la controimmagine di \(0\) contiene \(e_2\) ed \(e_3\) che, essendo linearmente indipendenti, generano il kernel (per via della dimensione).
grazie di cuore per l'aiuto!
scusami ho trovato la stessa tipologia di esercizio volevo essere solo sicuro di una cosa
1 -2 1
-2 4 -2
1 -2 -1
calcolare una base per il nucleo ed una base per l'immagine dell'applicazione linearead essa associata nella base canonica di R3
quindi devo lavorare sempre su questa matrice dovrebbe essere gia trasformata nella sua base canonica?
1 -2 1
-2 4 -2
1 -2 -1
calcolare una base per il nucleo ed una base per l'immagine dell'applicazione linearead essa associata nella base canonica di R3
quindi devo lavorare sempre su questa matrice dovrebbe essere gia trasformata nella sua base canonica?
Ho svolto l'esercizio e mi trovo che la base dell'immagine è 1 -2 1 siccome gli altri due dipendono linearmente quindi ho che la dim img=1 essendo dim v= 3 dovrei trovarmi il kernel = 2 ma io mi trovo facendo il sistema omogeneo che la dim del kernel è uguale a 3 puoi vedere dove ho sbagliato perfavore
Sta attento: \((1,-2,1)\) e \((1,-2,-1)\) sono linearmente indipendenti, quindi il rango della matrice è 2 e il kernel dovrebbe avere dimensione 1.
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