Applicazioni lineari
2. Si consideri l'applicazione lineare f di R3 in M(2;R) definita da:
f(a; b; c) = ( b+c a-c )
( a-c -a+b+2c)
(TUTTO NELLA STESSA PARENTESI, A FORMARE UNA MATRICE)
a) Trovare una base di Kerf, una base di Imf e le loro dimensioni.
b) Scrivere la matrice che rappresenta f rispetto alle basi canoniche di R3 e di M(2;R) .
3-Si consideri l'applicazione lineare f di R3 in R3[x] definita da
f(a; b; c)=(b-c)+(a+c)x+ (a-b+ 2c)x^2+ (a+b)x^3
a) Trovare una base di Kerf, una base di Imf e le loro dimensioni.
b) Scrivere la matrice che rappresenta f rispetto alle basi canoniche di R3 e di R3[x]
senza numeri io mi trovo spaesata, mi potete aiutare?
f(a; b; c) = ( b+c a-c )
( a-c -a+b+2c)
(TUTTO NELLA STESSA PARENTESI, A FORMARE UNA MATRICE)
a) Trovare una base di Kerf, una base di Imf e le loro dimensioni.
b) Scrivere la matrice che rappresenta f rispetto alle basi canoniche di R3 e di M(2;R) .
3-Si consideri l'applicazione lineare f di R3 in R3[x] definita da
f(a; b; c)=(b-c)+(a+c)x+ (a-b+ 2c)x^2+ (a+b)x^3
a) Trovare una base di Kerf, una base di Imf e le loro dimensioni.
b) Scrivere la matrice che rappresenta f rispetto alle basi canoniche di R3 e di R3[x]
senza numeri io mi trovo spaesata, mi potete aiutare?
Risposte
Ti suggerisco di dare un’occhiata alle formule perché il loro uso è gradito nelle sezioni universitarie (dopo un certo numero di messaggi è considerato obbligatorio).
Immagino che il testo sia:
\(\displaystyle f(a,b,c) = \begin{pmatrix} b+c & a - c \\ a - c & -a+b+2c \end{pmatrix} \)
Comunque io partirei dalla matrice (punto b).
\begin{align} \begin{pmatrix} b+c & a - c \\ a - c & -a+b+2c \end{pmatrix} &= (b+c)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + (a-c)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + (a-c)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + (-a+b+2c)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{align}
Il altre parole hai che
\begin{align} f(a,b,c) &= (b+c)\mathbf{b}_1 + (a-c)\mathbf{b}_2 + (a-c)\mathbf{b}_3 + (-a+b+2c)\mathbf{b}_4
\end{align}
La matrice sarà della forma
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\ \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \\ \alpha_{41} & \alpha_{42} & \alpha_{43} \end{pmatrix} \)
e risulterà
\(\displaystyle A\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b+c \\ a-c \\ a-c \\ -a+b+2c \end{pmatrix} \)
Risulta pertanto immediato il risultato:
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
Da qui in poi puoi risolvere il resto di 2 autonomamente (o almeno devi provarci).
L'esercizio 3 è simile.
Immagino che il testo sia:
\(\displaystyle f(a,b,c) = \begin{pmatrix} b+c & a - c \\ a - c & -a+b+2c \end{pmatrix} \)
Comunque io partirei dalla matrice (punto b).
\begin{align} \begin{pmatrix} b+c & a - c \\ a - c & -a+b+2c \end{pmatrix} &= (b+c)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + (a-c)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + (a-c)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + (-a+b+2c)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{align}
Il altre parole hai che
\begin{align} f(a,b,c) &= (b+c)\mathbf{b}_1 + (a-c)\mathbf{b}_2 + (a-c)\mathbf{b}_3 + (-a+b+2c)\mathbf{b}_4
\end{align}
La matrice sarà della forma
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\ \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \\ \alpha_{41} & \alpha_{42} & \alpha_{43} \end{pmatrix} \)
e risulterà
\(\displaystyle A\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b+c \\ a-c \\ a-c \\ -a+b+2c \end{pmatrix} \)
Risulta pertanto immediato il risultato:
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
Da qui in poi puoi risolvere il resto di 2 autonomamente (o almeno devi provarci).
L'esercizio 3 è simile.
ti ringrazio, infatti non capivo proprio come creare la matrice. e scusami se non utilizzo le formule. appena avrò un pò di tempo imparerò a scriverle in modo corretto. ti ringrazio ancora.
Prego, comunque se sai utilizzare latex è immadiato.
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