Applicazioni lineare, matrice associata e span

[andrea.bonfissuto]

Ciao a tutti, mi sono imbattuto in un esercizio di cui non riesco a comprenderne una richiesta:
Sia \(\displaystyle \phi \) : R^3 × R^3 → R la funzione definita da φ (v, w) := \(\displaystyle \ {^{t}} \)vAw, dove la matrice A e'
1 0 1
0 2 0
1 0 1

1. Si verifichi che φ e' una forma bilineare simmetrica su R^3
2. si trovi la segnatura di φ;
3. si determini una base B di R^3 ortogonale per φ;
4. si stabilisca per quali vettori v ∈ R^3 con v \(\displaystyle \neq \) 0 risulta R^3 = L(v) ⊕ (L(v))\(\displaystyle \ {^{⊥φ}} \) , dove L(v) = span(v).

I primi tre punti li ho risolti, ma non riesco proprio a capire la richiesta del punto 4.
Grazie in anticipo.

P.S. mi scuso per l'impaginazione e simboli non ottimali, ma sono nuovo sul forum.

[billyballo2123]

"abonfi":
Ciao a tutti, mi sono imbattuto in un esercizio di cui non riesco a comprenderne una richiesta:
Sia $\varphi: \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ la funzione definita da $\varphi(v, w):=^tvAw$, dove la matrice $A$ e'
\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
\]
1. Si verifichi che $\varphi$ e' una forma bilineare simmetrica su $\mathbb{R}^3$;
2. si trovi la segnatura di $\varphi$;
3. si determini una base $B$ di $\mathbb{R}^3$ ortogonale per $\varphi$;
4. si stabilisca per quali vettori $v\in\mathbb{R}^3$ con $v\ne 0$ risulta $\mathbb{R}^3 = L(v)\oplus L(v)^{_|__\varphi}$, dove $L(v) = \Span(v)$.

I primi tre punti li ho risolti, ma non riesco proprio a capire la richiesta del punto 4.
Grazie in anticipo.

P.S. mi scuso per l'impaginazione e simboli non ottimali, ma sono nuovo sul forum.

Dato un vettore $v\in\mathbb{R}^3$, si definisce $L(v)^{_|__\varphi}:=\{w\in\mathbb{R}^3|\varphi(v,w)=0\}$. L'esercizio ti sta chiedendo per quali $v\in\mathbb{R}^3$ i sottospazi $L(v)$ e $L(v)^{_|__\varphi}$ sono in somma diretta.

[andrea.bonfissuto]

Grazie, mi hai fatto fare un grande passo avanti.
Ora mi manca determinare i due span, $L(v)$ e $L(v)^⊥φ$, e calcolare la loro sono in somma diretta.
Mi potresti dare un aiuto su come impostarlo/svolgerlo?

[billyballo2123]

FISSATO (quindi d'ora in poi non sarà più una variabile) un vettore $v\in\mathbb{R}^3$ non nullo, $v=[x_1 \ \ x_2 \ \ x_3]^T$, allora per ogni vettore $w=[y_1 \ \ y_2 \ \ y_3]^T$ si ha che $\varphi(v,w)=0$ se e solo se
\[
\begin{bmatrix}
x_1 & x_2 & x_3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix},
\]
ovvero, moltiplicando $v^TA$, se e solo se
\[
\begin{bmatrix}
x_1+x_3 & 2x_2 & x_1+x_3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\]
Questo significa che $L(v)^{_|__\varphi}=Ker(f)$, dove $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ è l'applicazione lineare rappresentata dalla matrice
\[
\begin{bmatrix}
x_1+x_3 & 2x_2 & x_1+x_3
\end{bmatrix}.
\]
Dato che $Ker(f)$ ha sempre almeno dimensione due e $L(v)$ ha dimensione uno, richiedere che siano in somma diretta equivale a richiedere che nella loro intersezione ci sia solo il vettore nullo.
Quindi tu devi trovare delle condizioni da imporre su $v$ affinché $v\notin L(v)^{_|__\varphi}$, ovvero affinché $v\notin Ker(f)$ ($f(v)\ne 0$).