Applicazioni iniettive e suriettive
Salve a tutti!
Non riuscivo a svolgere questo esercizio
Sia T: C^3-----> C^3 l applicazione lineare associata alla matrice A rispetto alla base canonica, ove A:
| i......2......0 |
| 1.....0....i+1 |
| 2.....a......3 |
Si dica per quali valori di a (se esistono) si ha che T è un isomorfismo.
In pratica non risco a collegare la parte teorica delle applicazioni surgettive e iniettive agli esercizi
Non riuscivo a svolgere questo esercizio
Sia T: C^3-----> C^3 l applicazione lineare associata alla matrice A rispetto alla base canonica, ove A:
| i......2......0 |
| 1.....0....i+1 |
| 2.....a......3 |
Si dica per quali valori di a (se esistono) si ha che T è un isomorfismo.
In pratica non risco a collegare la parte teorica delle applicazioni surgettive e iniettive agli esercizi
Risposte
Siano $ V,W $ due spazi vettoriali.
$ f:V->W $
$ f $ è iniettiva se e solo se $ Ker(f)={0_v} $
$ f $ è suriettiva se e solo se $ Im(f)=W $
$ f $ è un isomorfismo se e solo se $ f $ è suriettiva ed iniettiva.
Sia $ A $ la matrice associata rispetto ad $ f $ (in questo caso rispetto alla base canonica).
Dalla formula del rango si ha che $ dim(ker(f))+dim(Im(f))=dim(V) $ , inoltre si prova che $ dim(Im(f))=rank(A) $.
Dunque se $ A $ è una matrice quadrata allora l'applicazione $ f $ è un suriettiva se e solo se è iniettiva, cioè se $ dim(V)=dim(W) $ allora ti basta provare che $ f $ è iniettiva o suriettiva per dimostrare che è un isomorfismo.
In questo caso io controllerei la suriettività calcolando il rango di $ A $ o meglio ancora (volendo verificare che la mappa è un isomorfismo) calcolando il $ det(A) $. I valori di $ a $ dove questo è diverso da zero sono i valori per cui $ T $ è un isomorfismo.
$ f:V->W $
$ f $ è iniettiva se e solo se $ Ker(f)={0_v} $
$ f $ è suriettiva se e solo se $ Im(f)=W $
$ f $ è un isomorfismo se e solo se $ f $ è suriettiva ed iniettiva.
Sia $ A $ la matrice associata rispetto ad $ f $ (in questo caso rispetto alla base canonica).
Dalla formula del rango si ha che $ dim(ker(f))+dim(Im(f))=dim(V) $ , inoltre si prova che $ dim(Im(f))=rank(A) $.
Dunque se $ A $ è una matrice quadrata allora l'applicazione $ f $ è un suriettiva se e solo se è iniettiva, cioè se $ dim(V)=dim(W) $ allora ti basta provare che $ f $ è iniettiva o suriettiva per dimostrare che è un isomorfismo.
In questo caso io controllerei la suriettività calcolando il rango di $ A $ o meglio ancora (volendo verificare che la mappa è un isomorfismo) calcolando il $ det(A) $. I valori di $ a $ dove questo è diverso da zero sono i valori per cui $ T $ è un isomorfismo.
Quindi riduco prima con Gauss e trovo che la dimensione dell'immagine è 3 quando a è diverso da 10, quindi:
Ker (f)=3-3=0----> iniettiva
Per calcolare se è suriettiva invece non ho ben capito come fare! La mappa ancora non l abbiamo fatta noi mi sa...
Ker (f)=3-3=0----> iniettiva
Per calcolare se è suriettiva invece non ho ben capito come fare! La mappa ancora non l abbiamo fatta noi mi sa...
"6x6Casadei":
Quindi riduco prima con Gauss e trovo che la dimensione dell'immagine è 3 quando a è diverso da 10
A me sembra che la dimensione dell'immagine è 3 quando $ a!=(3-i) $.
"6x6Casadei":
Per calcolare se è suriettiva invece non ho ben capito come fare!
In questo caso nulla
. Se la dimensione dell'immagine è massima (cioè 3) ottieni subito che $ KerT $ ha dimensione nulla. Quindi se $ a!=(3-i) $ l'applicazione è suriettiva ed è anche iniettiva. Come ti dicevo prima se la dimensione dello spazio di partenza e dello spazio di arrivo coincidono il fatto che l' applicazione sia iniettiva implica anche che l'applicazione sia suriettiva e vale il viceversa. Provando una delle due provi automaticamente anche l'altra.
"6x6Casadei":
La mappa ancora non l abbiamo fatta noi mi sa...
La "mappa" sta a dire l'applicazione.
Grazie mille!!! 
Mi sa che ho le idee un po confuse....riguardo alla soluzione Non riesco proprio a trivare quella li:
ho provato a fare gauss della matrice sopra e mi viene (-2+a*i/2)*(i+1) + 3 diverso da 0
Ho provato con la trasposta e viene 3-((a+4i)/2i)*(i+1)
Risolvendole mi vengono numeri strani
Mi sa che ho le idee un po confuse....riguardo alla soluzione Non riesco proprio a trivare quella li:
ho provato a fare gauss della matrice sopra e mi viene (-2+a*i/2)*(i+1) + 3 diverso da 0
Ho provato con la trasposta e viene 3-((a+4i)/2i)*(i+1)
Risolvendole mi vengono numeri strani
Ho risolto sbagliavo a moltiplicare :/
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