Applicazioni in coordinate stereografiche
Ciao a tutti, sto facendo un esercizio sulle proiezioni stereografiche, ma ho dei dubbi su un passaggio.
L'esercizio è:
"Si considerino sulla sfera $S^n$ le coordinate locali associate alla struttura differenziabile determinata dall'atlante:
$\{ (U_1=S^n\setminus \{N\},\varphi_N) , (U_2=S^n\setminus \{S\},\varphi_S) \}$ dove $\varphi_N$ e $\varphi_S$ sono le proiezioni stereografiche rispetto al polo nord $N$ e al polo sud $S$.
Calcolare la rappresentazione in tali coordinate delle seguenti applicazioni:
1) $\alpha:S^n\rightarrow S^n$, $x\mapsto -x$ (mappa antipodale)
2) $p_n:S^1\rightarrow S^1$, $z\mapsto z^n$ con $n\in\mathbb{Z}$
e provare che sono entrambe differenziabili."
La mia soluzione:
1) Preso $p=(x^1,\ldots,x^{n+1})\in S^n$, le sue coordinate locali sono $\varphi_N(p)=\frac{1}{1-x^{n+1}}(x^1,\ldots,x^{n})$, allora $\alpha(p)$ ha coordinate $\varphi_N(\alpha(p))=\frac{-1}{1+x^{n+1}}(x^1,\ldots,x^{n})$.
Quindi la matrice Jacobiana di $\alpha$ ha rango massimo per ogni $p\in S^n$ ed è quindi differenziabile. Tale matrice nel caso $n=2$ è:
$( (-\frac{1}{1+x^3} , 0 , \frac{1}{(1+x^3)^2}x^1), (0 , -\frac{1}{1+x^3} , \frac{1}{(1+x^3)^2}x^2))$
Tutto giusto?
2) Preso $q=(x,y)\in S^1$,le sue coordinate locali sono $\varphi_N(q)=\frac{1}{1-y}x$, allora $p_n(q)$ ha coordinate stereografiche $\varphi_N(p_n(q))= ( \frac{1}{1-y}x )^n$. Il gradiente di questa applicazione è quindi:
$(n (\frac{1}{1-y} )^n x^{n-1}, n (\frac{1}{1-y} )^{n+1} x^{n} )$
che però si annulla in $(0,S)\in U_1$ e non è quindi differenziabile.
Dove sbaglio??
Grazie mille
L'esercizio è:
"Si considerino sulla sfera $S^n$ le coordinate locali associate alla struttura differenziabile determinata dall'atlante:
$\{ (U_1=S^n\setminus \{N\},\varphi_N) , (U_2=S^n\setminus \{S\},\varphi_S) \}$ dove $\varphi_N$ e $\varphi_S$ sono le proiezioni stereografiche rispetto al polo nord $N$ e al polo sud $S$.
Calcolare la rappresentazione in tali coordinate delle seguenti applicazioni:
1) $\alpha:S^n\rightarrow S^n$, $x\mapsto -x$ (mappa antipodale)
2) $p_n:S^1\rightarrow S^1$, $z\mapsto z^n$ con $n\in\mathbb{Z}$
e provare che sono entrambe differenziabili."
La mia soluzione:
1) Preso $p=(x^1,\ldots,x^{n+1})\in S^n$, le sue coordinate locali sono $\varphi_N(p)=\frac{1}{1-x^{n+1}}(x^1,\ldots,x^{n})$, allora $\alpha(p)$ ha coordinate $\varphi_N(\alpha(p))=\frac{-1}{1+x^{n+1}}(x^1,\ldots,x^{n})$.
Quindi la matrice Jacobiana di $\alpha$ ha rango massimo per ogni $p\in S^n$ ed è quindi differenziabile. Tale matrice nel caso $n=2$ è:
$( (-\frac{1}{1+x^3} , 0 , \frac{1}{(1+x^3)^2}x^1), (0 , -\frac{1}{1+x^3} , \frac{1}{(1+x^3)^2}x^2))$
Tutto giusto?
2) Preso $q=(x,y)\in S^1$,le sue coordinate locali sono $\varphi_N(q)=\frac{1}{1-y}x$, allora $p_n(q)$ ha coordinate stereografiche $\varphi_N(p_n(q))= ( \frac{1}{1-y}x )^n$. Il gradiente di questa applicazione è quindi:
$(n (\frac{1}{1-y} )^n x^{n-1}, n (\frac{1}{1-y} )^{n+1} x^{n} )$
che però si annulla in $(0,S)\in U_1$ e non è quindi differenziabile.
Dove sbaglio??
Grazie mille
Risposte
Chi ti ha detto che una applicazione differenziabile deve avere per forza rango massimo? Secondo questo criterio le costanti non sarebbero differenziabili
Comunque, la 1 è quasi corretta, devi però discutere i casi singolari. Che succede se \((x^1\ldots x^{n+1})=(0\ldots -1)\)? Se cerchi di calcolare \(\phi_N(\alpha(0\ldots 1))\) ti viene fuori una divisione per zero. Questo perché \(\alpha(0\ldots -1)\) ti è andato a finire proprio sul polo nord, che non è nel dominio di \(\phi_N\) (se ti piace la terminologia dei fisici, è una *singolarità del sistema di coordinate*). Quindi \(\phi_N\circ \alpha \) è definita su \(S^n\setminus \{S\}\). Rifai il ragionamento per l'altra proiezione.
La 2 invece è completamente sbagliata. La mappa \(z^n\) di cui si parla nel testo è la moltiplicazione di numeri complessi. Tu usi le coordinate reali \((x, y)\), la cui relazione con \(z\) è
\[
z=x+iy\qquad \begin{cases} x= \Re z \\ y=\Im z.\end{cases}\]
Per prima cosa devi calcolare \(z^n\) in queste coordinate. E solo dopo puoi applicare la proiezione stereografica.
In alternativa puoi calcolare l'espressione della proiezione stereografica nelle coordinate complesse \(z, \overline z\), cosa che è stata fatta in almeno una discussione nella stanza di Geometria ma non riesco a trovarla.
La 2 invece è completamente sbagliata. La mappa \(z^n\) di cui si parla nel testo è la moltiplicazione di numeri complessi. Tu usi le coordinate reali \((x, y)\), la cui relazione con \(z\) è
\[
z=x+iy\qquad \begin{cases} x= \Re z \\ y=\Im z.\end{cases}\]
Per prima cosa devi calcolare \(z^n\) in queste coordinate. E solo dopo puoi applicare la proiezione stereografica.
In alternativa puoi calcolare l'espressione della proiezione stereografica nelle coordinate complesse \(z, \overline z\), cosa che è stata fatta in almeno una discussione nella stanza di Geometria ma non riesco a trovarla.
"dissonance":
Chi ti ha detto che una applicazione differenziabile deve avere per forza rango massimo? Secondo questo criterio le costanti non sarebbero differenziabili
Hai ragione, dovrei calcolare il determinante della Jacobiana e verificare che sia non nullo in ogni punto, ma come faccio in casi come questi in cui la matrice Jacobiana non è quadrata?
Questa risposta è peggio del messaggio originale. Come dicevo, non è questione né di rango né di determinanti, ma semplicemente di avere male interpretato il senso della domanda. Leggi il mio secondo messaggio.
"dissonance":
Questa risposta è peggio del messaggio originale. Come dicevo, non è questione né di rango né di determinanti, ma semplicemente di avere male interpretato il senso della domanda. Leggi il mio secondo messaggio.
Ok quindi la matrice Jacobiana mi serve?
Seguendo la tua traccia del secondo messaggio arrivo a dire che $\varphi_N\circ \alpha$ è definita su $S^n\setminus \{S\}$ e analogamente $\varphi_S\circ\alpha$ è definita su $S^n\setminus\{N\}$. Detto questo come concludo che $\alpha$ è differenziabile?
A questo punto metto in discussione le basi: come faccio a verificare che un'applicazione è differenziabile?
"dissonance":
La 2 invece è completamente sbagliata. La mappa \(z^n\) di cui si parla nel testo è la moltiplicazione di numeri complessi. Tu usi le coordinate reali \((x, y)\), la cui relazione con \(z\) è
\[
z=x+iy\qquad \begin{cases} x= \Re z \\ y=\Im z.\end{cases}\]
Per prima cosa devi calcolare \(z^n\) in queste coordinate. E solo dopo puoi applicare la proiezione stereografica.
In alternativa puoi calcolare l'espressione della proiezione stereografica nelle coordinate complesse \(z, \overline z\), cosa che è stata fatta in almeno una discussione nella stanza di Geometria ma non riesco a trovarla.
ok allora posso provare a considerare $z=x+iy$. In questo modo $p_n(z)=(x+iy)^n=\sum_{k=0}^n ((n),(k)) x^{n-k}(iy)^k$.
Ma ora come applico la proiezione stereografica?
"paste":Esatto, è qui la tua incomprensione principale. Una applicazione tra varietà è differenziabile se e solo se le sue espressioni in coordinate sono applicazioni differenziabili nel senso di Analisi 2. Lo studio della matrice Jacobiana è una cosa più avanzata che qui non ti serve.
A questo punto metto in discussione le basi: come faccio a verificare che un'applicazione è differenziabile?
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