Applicazioni e sottospazi
Sia $f: RR^(4)-->RR^(4)$ definita da
$f(e_1)=(1,0,2,0)$
$f(e_2)=(1,2,0,1)$
$f(e_3)=(-1,0,2,0)$
$f(e_4)=(1,1,0,1)$
Sia W il sottospazio generato da $e_1$ e $e_3$
Mostrare che $f(W) sub W$
Io ho trovato $f(W)={(1,0,2,0),(-1,0,2,0)}$ che ha dimensione 2, ma anche W ha dimensione 2 quindi non capisco come fa ad essere contenuto...
$f(e_1)=(1,0,2,0)$
$f(e_2)=(1,2,0,1)$
$f(e_3)=(-1,0,2,0)$
$f(e_4)=(1,1,0,1)$
Sia W il sottospazio generato da $e_1$ e $e_3$
Mostrare che $f(W) sub W$
Io ho trovato $f(W)={(1,0,2,0),(-1,0,2,0)}$ che ha dimensione 2, ma anche W ha dimensione 2 quindi non capisco come fa ad essere contenuto...
Risposte
Effettivamente si dovrebbe avere $f(W)=W$
Quindi è giusto il mio ragionamento?grazie...
Se il testo è quello, sì
Scusami i miei compagni mi hanno detto che così non è giusto il ragionamento, perchè non vuole dire che se 2 sottospazi hanno la stessa dimensione allora sono uguali. Mi hanno fatto notare che:
$(1,0,2,0)=e_1+2 e_3$
$(-1,0,2,0)=-e_1+e_3$
E quindi $f(W) sub W$
$(1,0,2,0)=e_1+2 e_3$
$(-1,0,2,0)=-e_1+e_3$
E quindi $f(W) sub W$
Se due sottospazi $A$ e $B$ hanno la stessa dimensione e vale $A sube B$, allora $A=B$
Quella cosa che ti hanno fatto notare è certamente vera, ma vale anche il viceversa;
ovvero $e_1$ è esprimibile come combinazione lineare di $(1,0,2,0)$ e $(-1,0,2,0)$,
e anche $e_3$. Da questo se ne deduce che $W sube f(W)$
Ok?
Quella cosa che ti hanno fatto notare è certamente vera, ma vale anche il viceversa;
ovvero $e_1$ è esprimibile come combinazione lineare di $(1,0,2,0)$ e $(-1,0,2,0)$,
e anche $e_3$. Da questo se ne deduce che $W sube f(W)$
Ok?
$e_3$ è esprimibile come combinazione lineare dei due vettori, ma $e_1$ credo di no...comunque non importa...ho capito il ragionamento...
!posso farti un'altra domanda al riguardo? il vettore nullo è contenuto in qualsiasi sottospazio ed esso non contiene nessun vettore giusto?
!posso farti un'altra domanda al riguardo? il vettore nullo è contenuto in qualsiasi sottospazio ed esso non contiene nessun vettore giusto?
Un vettore non può contenere cose. Il vettore nullo è incluso, per definizione, in ogni spazio e sottospazio vettoriale. Il sottospazio nullo, a cui per convenzione si attribuisce dimensione 0, contiene solo il vettore nullo.
Riguardo all'esercizio, chiamando $a=(1,0,2,0), b=(-1,0,2,0)$, hai $2 e_1=a-b-e_3$ e dato che $e_3$ è combinazione lineare di $a$ e $b$, anche $e_1$ lo è.
Paola
Riguardo all'esercizio, chiamando $a=(1,0,2,0), b=(-1,0,2,0)$, hai $2 e_1=a-b-e_3$ e dato che $e_3$ è combinazione lineare di $a$ e $b$, anche $e_1$ lo è.
Paola
Allora:
1) $e_1=1/2*(1,0,2,0)-1/2*(-1,0,2,0)$, quindi è esprimibile anche lui
2) il vettore nullo è un vettore, non un sottospazio. Quindi non puoi dire " è contenuto " oppure "non contiene"
Piuttosrto "appartiene"
Il vettor nullo appartiene a qualunque sottospazio.
Il sottospazio $A={0}$, dove $0$ è il vettor nullo, ha al suo interno un vettore ( il vettor nullo)
Quindi c'è differenza tra $O/$ e ${0}$
1) $e_1=1/2*(1,0,2,0)-1/2*(-1,0,2,0)$, quindi è esprimibile anche lui
2) il vettore nullo è un vettore, non un sottospazio. Quindi non puoi dire " è contenuto " oppure "non contiene"
Piuttosrto "appartiene"
Il vettor nullo appartiene a qualunque sottospazio.
Il sottospazio $A={0}$, dove $0$ è il vettor nullo, ha al suo interno un vettore ( il vettor nullo)
Quindi c'è differenza tra $O/$ e ${0}$
Si giusto...avevo commesso un errore di segno...grazie a entrambi...soprattutto per la pazienza:)!
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