Applicazioni continue

[Thomas16]

Volevo postare un esercizio e questo mi è sembrato carino...

Abbiamo $f:$$(X, tau)->(Y,tau_1)$ continua (quelli sono spazi topologici). Provare che:

- La naturale funzione proiezione da $XxY->X$ ristretta al grafico di $f$ è:

1) bigettiva e continua (questo vale anche se $f$ non continua);
2) possiede inversa continua;

questo stabilisce un omeomorfismo tra il dominio di $f$ ed il suo grafico, qualunque siano il dominio ed il codominio di $f$... bello no?

[Sk_Anonymous]

"Thomas":
Abbiamo $f:$$(X, tau)->(Y,tau_1)$ continua (quelli sono spazi topologici). Provare che:

- La naturale funzione proiezione da $XxY->X$ ristretta al grafico di $f$ è:

1) bigettiva e continua (questo vale anche se $f$ non continua);

Come?! Sia $\pi_1: X \times f(X) \to X: (x,y) \to x$. Se $x \in X$ ed $y_1, y_2 \in f(X)$, allora $\pi_1(x,y_1) = \pi_1(x,y_2)$. Dunque mi chiedo... A parte - eventualmente! - il caso banale in cui $f(X) = \emptyset$, viz $X = \emptyset$, oppure $|f(X)| = 1$, come può essere bigettiva quella roba lì?!

[Thomas16]

Il problema si basa sulla proiezione ristretta al grafico di $f$... ed il grafico non possiede due punti con medesima $x$ e diversa $y$...

in tal caso nel tuo esempio $y_1=f(x)$ e $y_2=f(x)$ da cui $y_1=y_2$ per def di funzione...

def: per grafico della funzione si intende l'insieme delle coppie $(x,f(x))$ nel prodotto cartesiano... la topologia è quella di sottospazio...

[Sk_Anonymous]

Giusto, ho proprio misinterpretato! Ci penserò - tengo un sacco di corsi, fra oggi e domani.

[Sk_Anonymous]

"Thomas":Abbiamo $f:$$(X, tau_1)->(Y,tau_2)$ (quelli sono spazi topologici). Provare che:

- La naturale funzione proiezione da $XxY->X$ ristretta al grafico di $f$ è 1) bigettiva e continua.

1) Sia dunque $\pi$ la restrizione al grafico di $f$ della funzione $X \times Y \to X: (x,y) \to x$. Ovviamente $\pi$ è iniettiva, poiché, se $(x_1,y_1), (x_2, y_2) \in $graf $f$ e $\pi(x_1, y_1) = \pi(x_2, y_2)$, i.e. $x_1 = x_2$, allora necessariamente $y_1 = f(x_1) = f(x_2) = y_2$, e quindi $(x_1, y_1) = (x_2, y_2)$. Inoltre è pure suriettiva, poiché per ogni $z \in X$, esiste $(x,y) \in$ graf $f$ tale che $\pi(x,y) = z$. Basti porre $x = z$ ed $y = f(x)$. Dunque $\pi$ è biunivoca. Mostriamo che è anche continua. Siano in tal senso $(x,y) \in $graf $f$ ed $U$ un intorno di $\pi(x,y) = x$ nella topologia $\tau_1$ di $X$. Allora esiste un intorno $V$ di $(x,y)$ nella topologia dei sottospazi indotta sul grafico di $f$ dalla topologia prodotto di $X \times Y$ tale che $\pi(V) \subseteq U$. Basti porre $V = (U \times Y) \cap $graf $f$. Da qui la continuità di $\pi$.

[Sk_Anonymous]

"Thomas":
Abbiamo $f:$$(X, tau_1)->(Y,tau_2)$ continua (quelli sono spazi topologici). Provare che:

- La naturale funzione proiezione da $XxY->X$ ristretta al grafico di $f$ [...] possiede inversa continua [...]

2) Supponiamo adesso che $f$ sia continua e mostriamo che $\pi^{-1}$ è anch'essa tale. Fissato $x \in X$, sia infatti $V$ un intorno di $\pi^{-1}(x) = (x,f(x))$ nella topologia dei sottospazi indotta sul grafico di $f$ dalla topologia prodotto di $X \times Y$. Allora $V = (U_x \times U_y) \cap$ graf $f$, dove $U_x$ ed $U_y$ sono intorni di $x$ ed $f(x)$, rispettivamente, nelle topologie $\tau_1$ e $\tau_2$ di $X$ ed $Y$. Eppure $f$ è continua, per cui esiste un ulteriore intorno $U$ di $x$ in $X$ tale che $f(U) \subseteq U_y$. Se allora $G := U \cap U_x$, si ha che $G$ è un intorno di $x$ nella topologia $\tau_1$ di $X$ e $\pi^{-1}(G) \subseteq V$. Dunque $\pi^{-1}$ è continua, e perciò $\pi$ è un omeomorfismo.

[Thomas16]

mi pare corretto!

per completezza il secondo punto l'avevo fatto un pò diverso, usando:

$pi$[$(U_x \times U_y) \cap$ graf $f$]$=f^(-1)(U_y)\cap(U_x)$

l'uguaglianza và dimostrata ma intuitivamente prendo tutti i punti del grafico con componente lungo l'asse Y fissata e dopo seleziono ulteriormente la componente sulla X. Intersezione di aperti è aperta... la funzione manda aperti in aperti e quindi $pi^(-1)$ è continua...