Applicazioni bilineari e dualità
ciao a tutti ho una domanda: sia $V$ spazio vettoriale reale di dimensione finita se $b$ è una forma bilineare associata a una forma quadratica $q$ non degenere allora so che $b$ mi dà due mappe da $V$ a $V^*$. ovviamente $b$ è definita su $V$.
Ma queste mappe sono isomorfismi?
grazie a tutti.
Ma queste mappe sono isomorfismi?
grazie a tutti.
Risposte
Immagino che uno dei due isomorfismi a cui ti riferisci sia quello ottenuto nel seguente modo. $\phi:V\toV^**$ tale che per ogni $u\in V$
$\phi(u)=b(u,\cdot)$.
Dalla linearità di $b$ sul secondo argomento, si ha che $\phi$ è lineare.
Se $b$ è non degenere (cioè la matrice associata a $b$ rispetto a una qualsiasi base ha determinante non nullo), allora $\phi$ è un isomorfismo.
Per vedere ciò, basta far vedere che $\phi$ è ingettiva (Segue che $\phi$ è isomorfismo dal fatto che $dim\ V=dim V^**$).
E il fatto che $ker\ \phi={0}$ è una conseguenza della seguente proprietà (di cui, se vuoi, domani -ora non ho tempo- posso darti la dimostrazione):
$b$ è non degenere se e solo se vale l'implicazione "Se $u\in V$ è tale che $b(u,v)=0$ per ogni $v\in V$, allora $u=0$.
Spero di aver capito bene la tua domanda e aver chiarito il tuo dubbio.
$\phi(u)=b(u,\cdot)$.
Dalla linearità di $b$ sul secondo argomento, si ha che $\phi$ è lineare.
Se $b$ è non degenere (cioè la matrice associata a $b$ rispetto a una qualsiasi base ha determinante non nullo), allora $\phi$ è un isomorfismo.
Per vedere ciò, basta far vedere che $\phi$ è ingettiva (Segue che $\phi$ è isomorfismo dal fatto che $dim\ V=dim V^**$).
E il fatto che $ker\ \phi={0}$ è una conseguenza della seguente proprietà (di cui, se vuoi, domani -ora non ho tempo- posso darti la dimostrazione):
$b$ è non degenere se e solo se vale l'implicazione "Se $u\in V$ è tale che $b(u,v)=0$ per ogni $v\in V$, allora $u=0$.
Spero di aver capito bene la tua domanda e aver chiarito il tuo dubbio.
si esattmaente questo. grazie. provo a dimostrarlo quello che dici sennò ti hiedo un aiuto.
mi potresti dare una mano? ma la definizione di forma bilineare degenere qual è? non riesco a dimostrarla.
Sia $V$ uno spazio vettoriale reale, prendiamolo di dimensione finita $n$ con base $(e_1,...,e_n)$.
Considero la matrice $A=(a_{ij})$ associata a una forma bilineare $b:V\times V\to RR$ rispetto alla base fissata, definita come $a_{ij}=b(e_i,e_j)$. Si tratta di una matrice quadrata di ordine $n$.
Si dice che $b$ è non degenere se $A$ è non degenere, cioè ha det non nullo.
(La definizione non dipende dalla scelta della base perchè, scelta un'altra base e detta $M$ la matrice non degenere di passaggio fra le due basi, si ha che la matrice di $b$ rispetto a questa nuova base è $M^tAM$)
Provo che, data $b$ forma bilineare, sono equivalenti:
a) $b$ è non degenere;
b) Se $u\in V$ è tale che $b(u,v)=0$ per ogni $v\in V$, allora $u=0$.
E ora lo dimostro:
Nelle notazioni di prima (base, matrice,...)
Sia $u=\sum x^ie_i\in V$ e denoto con $X$ il vettore colonna $(x^1,...,x^n)^t$.
Calcolo $b(u,e_j)$
$b(u,e_j)=b(\sum x^ie_i,e_j)=\sum x^ib(e_i,e_j)=\sum a_{ij}x^i$
Quindi
$(\forall v\in V\ b(u,v)=0)\ \ \Leftrightarrow\ \ (\forall j=1,...,n\ \ b(u,e_j)=0)\ \ \Leftrightarrow\ \ (\forall j=1,...,n\ \ \sum a_{ij}x^i=0)$
$\ \ \Leftrightarrow\ \ A^tX=0$
Segue che
$b$ è non degenere $\Leftrightarrow$ $det\ A\ne 0$
$\ \ \Leftrightarrow$ il sistema $A^tX=0$ ammette come unica soluzione quella nulla
$\ \ \Leftrightarrow$ Se $u\in V$ è tale che $b(u,v)=0$ per ogni $v\in V$, allora $u=0$.
Spero di non aver commesso errori di indici
e che questa sia la strada giusta per dimostrare quanto volevi, a me sembra di sì. Buon lavoro!
Considero la matrice $A=(a_{ij})$ associata a una forma bilineare $b:V\times V\to RR$ rispetto alla base fissata, definita come $a_{ij}=b(e_i,e_j)$. Si tratta di una matrice quadrata di ordine $n$.
Si dice che $b$ è non degenere se $A$ è non degenere, cioè ha det non nullo.
(La definizione non dipende dalla scelta della base perchè, scelta un'altra base e detta $M$ la matrice non degenere di passaggio fra le due basi, si ha che la matrice di $b$ rispetto a questa nuova base è $M^tAM$)
Provo che, data $b$ forma bilineare, sono equivalenti:
a) $b$ è non degenere;
b) Se $u\in V$ è tale che $b(u,v)=0$ per ogni $v\in V$, allora $u=0$.
E ora lo dimostro:
Nelle notazioni di prima (base, matrice,...)
Sia $u=\sum x^ie_i\in V$ e denoto con $X$ il vettore colonna $(x^1,...,x^n)^t$.
Calcolo $b(u,e_j)$
$b(u,e_j)=b(\sum x^ie_i,e_j)=\sum x^ib(e_i,e_j)=\sum a_{ij}x^i$
Quindi
$(\forall v\in V\ b(u,v)=0)\ \ \Leftrightarrow\ \ (\forall j=1,...,n\ \ b(u,e_j)=0)\ \ \Leftrightarrow\ \ (\forall j=1,...,n\ \ \sum a_{ij}x^i=0)$
$\ \ \Leftrightarrow\ \ A^tX=0$
Segue che
$b$ è non degenere $\Leftrightarrow$ $det\ A\ne 0$
$\ \ \Leftrightarrow$ il sistema $A^tX=0$ ammette come unica soluzione quella nulla
$\ \ \Leftrightarrow$ Se $u\in V$ è tale che $b(u,v)=0$ per ogni $v\in V$, allora $u=0$.
Spero di non aver commesso errori di indici
e che questa sia la strada giusta per dimostrare quanto volevi, a me sembra di sì. Buon lavoro!
grazie mille!
Prego! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo