Applicazioni autoaggiunte
Salve a tutti.
Ho questo dubbio su questo risultato:
Dato uno spazio vettoriale euclideo $V$ su campo $\mathbb{K}$, data $f$ endomorfismo autoaggiunto, se $\lambda$ e $\mu$ sono due autovalori di $f$ distinti in $\mathbb{K}$, allora $\forall x \in V(\lambda)$ e $\forall y \in V(\mu)$ si ha $\varphi(x,y)=0$. (con $V(\lambda)$ e $V(\mu)$ intendo gli autospazi generalizzati di $f$ e con $\varphi$ il prodotto scalare)
La dimostrazione è la seguente:
$\lambda\varphi(x,y)=\varphi(\lambda x,y)=\varphi(f(x),y)=\varphi(x,f(y))=\varphi(x,\mu y)= \mu \varphi(x,y)$, allora $\varphi(x,y)=0$ perchè $\lambda \ne \mu$.
Ora, la dimostrazione l'ho capita. Chiedo soltanto questo:
1) Non bisognerebbe intanto dire che il campo degli scalari deve avere caratteristica nulla per poter concludere in quel modo?
2) A che serve $(V,\varphi)$ euclideo? Non basta semplicemente che $f$ sia autoaggiunta rispetto a $\varphi$ (qualunque esso sia)? Ho provato a costruirmi dei controesempi per quando $\varphi$ è non degenere e quando è degenere, ma non ci sono riuscito a trovarli.
Ho provato su $\mathbb{R}^3$ (con il prodotto scalare $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$)imponendo che la generica $f$ autoaggiunta avesse un autospazio generalizzato generato da un vettore isotropo, in modo che tale autospazio non fosse ortogonale ad almeno un altro autospazio, ma anche così ho solo verificato la tesi.
Mi è venuto il dubbio sin dall'inizio che "euclideo" fosse un'ipotesi troppo forte... però ditemi per favore se mi sfugge qualcosa.
Ho questo dubbio su questo risultato:
Dato uno spazio vettoriale euclideo $V$ su campo $\mathbb{K}$, data $f$ endomorfismo autoaggiunto, se $\lambda$ e $\mu$ sono due autovalori di $f$ distinti in $\mathbb{K}$, allora $\forall x \in V(\lambda)$ e $\forall y \in V(\mu)$ si ha $\varphi(x,y)=0$. (con $V(\lambda)$ e $V(\mu)$ intendo gli autospazi generalizzati di $f$ e con $\varphi$ il prodotto scalare)
La dimostrazione è la seguente:
$\lambda\varphi(x,y)=\varphi(\lambda x,y)=\varphi(f(x),y)=\varphi(x,f(y))=\varphi(x,\mu y)= \mu \varphi(x,y)$, allora $\varphi(x,y)=0$ perchè $\lambda \ne \mu$.
Ora, la dimostrazione l'ho capita. Chiedo soltanto questo:
1) Non bisognerebbe intanto dire che il campo degli scalari deve avere caratteristica nulla per poter concludere in quel modo?
2) A che serve $(V,\varphi)$ euclideo? Non basta semplicemente che $f$ sia autoaggiunta rispetto a $\varphi$ (qualunque esso sia)? Ho provato a costruirmi dei controesempi per quando $\varphi$ è non degenere e quando è degenere, ma non ci sono riuscito a trovarli.
Ho provato su $\mathbb{R}^3$ (con il prodotto scalare $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$)imponendo che la generica $f$ autoaggiunta avesse un autospazio generalizzato generato da un vettore isotropo, in modo che tale autospazio non fosse ortogonale ad almeno un altro autospazio, ma anche così ho solo verificato la tesi.
Mi è venuto il dubbio sin dall'inizio che "euclideo" fosse un'ipotesi troppo forte... però ditemi per favore se mi sfugge qualcosa.
Risposte
Cosa intendi con "autospazio generalizzato"?
Sul punto 1 direi di no, dato che non ci sono divisioni (per "costanti") il risultato vale in qualsiasi caratteristica.
Sul punto 2 quando dici "qualunque esso sia" intendi dire che $varphi$ è una qualsiasi forma bilineare simmetrica? Hermitiana? Mi pare che non servano ulteriori ipotesi in effetti, ma bisogna vedere in che contesto viene dimostrato quel risultato. Di solito uno se è immerso in un contesto non si scomoda a generalizzare i risultati il più possibile
qual è il contesto?
Sul punto 1 direi di no, dato che non ci sono divisioni (per "costanti") il risultato vale in qualsiasi caratteristica.
Sul punto 2 quando dici "qualunque esso sia" intendi dire che $varphi$ è una qualsiasi forma bilineare simmetrica? Hermitiana? Mi pare che non servano ulteriori ipotesi in effetti, ma bisogna vedere in che contesto viene dimostrato quel risultato. Di solito uno se è immerso in un contesto non si scomoda a generalizzare i risultati il più possibile
qual è il contesto?
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