Applicazioni Affini e teorema di esistenza e unicità!

[anton.ellina]

Buongiorno ragazzi!!! Volevo proporvi questo esercizio e sperare in voi se riuscite a delucidarmi sul punto finale!!!

Fissato in uno spazio affine A^4( $ RR $ ) un riferimento cartesiano $ cc(R) $ = (O=punto origine, R), si provi che i punti
A= O, A'=(1,1,0,1), A''=(1,0,1,0), A'''=(0,0,1,0), A''''=(0,1,1,0) sono affinemente indipendenti, e si determini l'applicazione affine F che trasforma i punti suddetti ordinatamente nei punti B=(1,1,1,1), B'=O, B''=(0,0,0,1), B'''=(1,1,1,1), B''''=(0,1,1,1). Si studi F, determinandone Immagine ImF e il sottospazio unito Fix(F), cioè il sottospazio dato dall'insieme dei punti unitit!

Allora ragazzi io l'ho svolto tutto tranne l'ultimo punto.

- I punti A,A',A'',A''',A'''' sono affinemente indipendenti perchè sono linearmente indipendenti dato che costiutiscono un riferimento baricentrico.

- Dire se F esiste ed è unica, cioè dire che l'applicazione affine che va da A^4 $ rarr $ A^4 esiste ed è unica, significa dire applicare la seconda parte del teorema di esistenza e unicità, cioè: $ EE $ ! F tale che F(A con i) = B con i, $ AA $ i=0, ... ,4.
$ EE $ ! F se e solamente se (A,A',A'',A''',A'''') costituiscono un riferimento baricentrico! Ma ciò l'ho già provato al primo punto quindi senza rifare tutti i calcoli dirò che effetivamente F esiste ed è unica.

- Determinare F.
Allora, preso un P(x,y,z,t), scriverò che:
P= a(A)+b(A')+c(A'')+d(A''')+e(A'''') dove a+b+c+d+e = 1 sarà uguale a:
aO+b(1,10,1)+c(1,0,1,0)+d(0,0,1,0)+e(0,1,1,0) = (b+c, b+e, c+d+e, b). Mettendo a sistema lo si risolverà trovandoci le incognite, ovvero x,y,z,t aggiungendo a sistena a+b+c+d+e = 1. Fatto ciò si andrà a calcolarci la:
F(P) = a(B)+b(B')+c(B'')+d(B''')+e(B'''') . Si procederà come prima ottenendo alla fine F.
Trovandomi F posso anche scrivermi le equazioni: MX+C=O. Infatti la matrice M è uguale alle righe del secondo sistema!
M = $ ( ( 0 ,0 ,0 ,1 ),( 1 , 0 , 0 ,-1 ),( -1 ,-1 ,1 , 2 ),( 0 ,1 ,0 ,-1 ) ) $ mentre C = $ ( ( 0 ),( 0 ),(0 ),(0 ) ) $

- Studiare ImF l'immagine di F.
ImF è un sottospazio avente come giacitura l'immagine di f dove f è parte vettoriale. Ma chi è Imf? L'Imf è data dai quei vettori presi in colonna nella matrice M e cioè: u = (0,1,-1,0), v = (0,0,-1,1), z = (0,0,1,0), w = (1,-1,2,-1). La dim ImF = ? È uguale a dim Imf = rg(M). Il rg(M) = 4 quindi la dim ImF = 4.
Mi calcolo poi le uquazioni di ImF scegliendo un generico punto $ P(X) in Imf $ .

-Arriviamo ora al grande ?. DEterminare i sottospazio dei punti uniti Fix(F).
Allora parto dalla sua dimensione. E per definizione la dimFix(F) = n - rg (M-I) dove I è la matrice identica!
Calcolandomi M-I ed il suo rango che risulta essere uguale a 3, posso stabilire la dim Fix(F), cioè facendo 4-3 = 1!!!
Perfetto! Quindi capisco che Fix(F) diverso dal $ O/ $ in quanto contiene un elemento! Ma chi è questo cavolo di elemento????????????????????

Forse ho sbagliato in qualche conto!!! O forse non ci arrivo x niente!

RISPONDENTE IN TANTIIIIIIIIIIIIIII, vi prego!!!!!!

GRAZIE MILLE

[cirasa]

Non ho letto tutto con attenzione (anche perché a suo tempo risolvevo questo tipo di esercizi con tecniche e notazioni diverse), mi sono fermato al risultato.
Hai scritto che

"tex89a":...
Trovandomi F posso anche scrivermi le equazioni: MX+C=O. Infatti la matrice M è uguale alle righe del secondo sistema!
M = $ ( ( 0 ,0 ,0 ,1 ),( 1 , 0 , 0 ,-1 ),( -1 ,-1 ,1 , 2 ),( 0 ,1 ,0 ,-1 ) ) $ mentre C = $ ( ( 0 ),( 0 ),(0 ),(0 ) ) $
...

Quindi, se ho inteso bene (correggimi se sbaglio), l'equazione dell'applicazione affine è $X'=MX+C$, dove $M,C$ sono quelle che hai determinato sopra.
Ora, ciò significa che le coordinate del punto trasformato $X'$ di $X$ si ottengono dall'equazione sopra.
Vediamo se hai centrato l'obiettivo, ovvero controllo che in effetti la tua applicazione affine trasforma $O=A,A',A'',A''',A''''$ nell'ordine in $B,O=B',B'',B''',B''''$.
Calcoliamo
$ ( ( 0 ,0 ,0 ,1 ),( 1 , 0 , 0 ,-1 ),( -1 ,-1 ,1 , 2 ),( 0 ,1 ,0 ,-1 ) ) ((0),(0),(0),(0)) +( ( 0 ),( 0 ),(0 ),(0 ) ) = ((0),(0),(0),(0))$

Quindi il trasformato di $A=O$ non è $B$.
Mi sembra che già qui ci sia qualcosa che non va...

P.S. Cerca di imparare ad usare sempre le formule e non solo per scrivere le matrici o qualche simbolo sparso.
Vedrai che il tuo messaggio apparirà molto più chiaro.