Applicazione:può essere lineare?

[franbisc]

Se $F:RR^2 ->RR^2$ è un'applicazione tale che $F(1,0)=(2,0) , F(0,-1)=(2,0) , F(0,0)=(1,0) $può essere lineare?

Secondo me ,dato che un'applicazione lineare è completamente determinata dai valori che assume su una base del dominio, basta scegliere la base costituita da(1,0) e (0,-1), e ottenere così :$2x,2y$ dove i termini sono entrambi polinomi di primo grado nelle incognite x e y e quindi F è un'applicazione lineare.
Dopo tutto ciò poi si nota che applicando la funzione al vettore nullo non si ottiene (1,0).
Quindi?Da questo si deduce che non è un'applicazione lineare?

[killing_buddha]

Se $F$ fosse lineare $F(0,0)$ sarebbe $(0,0)$. Lo sai dimostrare?
Corollario immediato: F non e' lineare.

[franbisc]

"killing_buddha":Se $F$ fosse lineare $F(0,0)$ sarebbe $(0,0)$. Lo sai dimostrare?
Corollario immediato: F non e' lineare.

Già...è vero... F(0,0) deve essere (0,0) per definizione.Ma mettiamo che al posto di F(0,0) ci fosse stato un altro vettore con la sua immagine,avrei dovuto seguire il mio "iter" ?Cioè avrei dovuto controllare dopo se le coordinate della sua immagine soddisfavano la legge dell'applicazione lineare?

[killing_buddha]

Si'. Se $\{v_i\}_i = X\subset V$ e' una base di vettori di $V$, ogni funzione $f:X\to W$ si estende in modo unico a una applicazione lineare $\bar f : V\to W$; questo vuol dire che la $\bar f$ definita ponendo $\sum a_i v_i\mapsto \sum a_i f(v_i)$ e' univocamente determinata da questa proprieta'.