Applicazione Propria definizione
Salve a tutti.
Sto impazzendo dietro la definizione di funzione propria. Sugli appunti ho questa:
DEF: Una applicazione $f:X\rightarrow Y$ tra spazi topologici si dice propria se $\forall K\subseteq Y$ compatto, $f^-1(K)$ risulta compatto.
La conferma di questa definizione la trovo qua: http://en.wikipedia.org/wiki/Proper_map
Sul libro (Manetti pag. 77) ho quest'altra:
DEF: Una applicazione continua $f:Y\rightarrow Z$ tra due spazi topologici si dice propria se per ogni compatto $K\subset Z$ la sua controimmagine $f^-1(K)$ è compatta.
La conferma di questa definizione la trovo qua: http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_propria
Qualcuno mi può dare una mano a capire di chi mi devo fidare, per favore? Cioè, la continuità è necessaria o no perchè una funzione sia propria?
Grazie in anticipo
Sto impazzendo dietro la definizione di funzione propria. Sugli appunti ho questa:
DEF: Una applicazione $f:X\rightarrow Y$ tra spazi topologici si dice propria se $\forall K\subseteq Y$ compatto, $f^-1(K)$ risulta compatto.
La conferma di questa definizione la trovo qua: http://en.wikipedia.org/wiki/Proper_map
Sul libro (Manetti pag. 77) ho quest'altra:
DEF: Una applicazione continua $f:Y\rightarrow Z$ tra due spazi topologici si dice propria se per ogni compatto $K\subset Z$ la sua controimmagine $f^-1(K)$ è compatta.
La conferma di questa definizione la trovo qua: http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_propria
Qualcuno mi può dare una mano a capire di chi mi devo fidare, per favore? Cioè, la continuità è necessaria o no perchè una funzione sia propria?
Grazie in anticipo
Risposte
Direi che non esiste una risposta alla tua domanda, per alcuni una funzione propria è continua, per alcuni no. Ma non credo che sia dannoso definire una funzione propria senza richiedere la continuità, purché sia chiaro.
Io comunque ti direi che per sicurezza è meglio supporre che quando uno dice "propria" intende "funzione continua propria". E in ogni caso io mi restrigerei alle funzioni continue, come fa Bourbaki (a cui piacciono le proprietà universali, quindi non spaventarti):
[Bourbaki, Topologie Général, 10.1]
Io comunque ti direi che per sicurezza è meglio supporre che quando uno dice "propria" intende "funzione continua propria". E in ogni caso io mi restrigerei alle funzioni continue, come fa Bourbaki (a cui piacciono le proprietà universali, quindi non spaventarti):
[Bourbaki, Topologie Général, 10.1]
Grazie Martino.
1) Comunque non sarebbe più generale una definizione senza la continuità (continua implica propria è falso. Ne è un esempio la funzione seno)? Senza offesa nei confronti di Bourbaki
.
ps: comunque anche la pagina Wikipedia inglese ha fra i suoi riferimenti il testo di Bourbaki.
2) Contestualmente alla definizione di funzione propria con la continuità, la proposizione presa da Wikipedia inglese (dove la continuità non è data):
"a continuous map f is proper if it is a closed map and the pre-image of every point in Y is compact"
continuerebbe ad avere (necessariamente) fra le sue ipotesi la continuità?
3) In ogni caso vorrei chiedere anche quest'altra cosa (se è OT elimino questa mia ultima domanda e ripubblico un altro Topic...).
Se assumessimo che la definizione di funzione propria escluda la continuità, potremmo dire che propria implica continua? (io dico di sì: se si gioca con i ricoprimenti aperti della controimmagine di un compatto, forse si riesce a dire che la controimmagine di aperti è aperta se una funzione è propria)
1) Comunque non sarebbe più generale una definizione senza la continuità (continua implica propria è falso. Ne è un esempio la funzione seno)? Senza offesa nei confronti di Bourbaki
.ps: comunque anche la pagina Wikipedia inglese ha fra i suoi riferimenti il testo di Bourbaki.
2) Contestualmente alla definizione di funzione propria con la continuità, la proposizione presa da Wikipedia inglese (dove la continuità non è data):
"a continuous map f is proper if it is a closed map and the pre-image of every point in Y is compact"
continuerebbe ad avere (necessariamente) fra le sue ipotesi la continuità?
3) In ogni caso vorrei chiedere anche quest'altra cosa (se è OT elimino questa mia ultima domanda e ripubblico un altro Topic...).
Se assumessimo che la definizione di funzione propria escluda la continuità, potremmo dire che propria implica continua? (io dico di sì: se si gioca con i ricoprimenti aperti della controimmagine di un compatto, forse si riesce a dire che la controimmagine di aperti è aperta se una funzione è propria)
Propria (senza continuità) non implica continua. Per esempio prendi l'identità [tex]\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex], dove a sinistra metti la topologia usuale, a destra quella discreta. Chiaro che questa funzione non è continua. Però è propria, infatti un compatto in [tex]\mathbb{R}[/tex] con la topologia discreta è precisamente un insieme finito. E un insieme finito è compatto anche nella topologia usuale. Se poi scambi le due topologie, lo stesso esempio mostra che continua non implica propria.
Però è vero che una funzione propria (senza continuità) con dominio di Hausdorff e codominio compatto è propria. Questo è perché un chiuso in un compatto è compatto, quindi la sua controimmagine è compatta, e un compatto in un Hausdorff è chiuso.
Non capisco la domanda che fai nel punto 2). La continuità c'è già come ipotesi, quindi se usi la definizione di proprio con continuità quella proposizione continua a valere, ovvio.
Però è vero che una funzione propria (senza continuità) con dominio di Hausdorff e codominio compatto è propria. Questo è perché un chiuso in un compatto è compatto, quindi la sua controimmagine è compatta, e un compatto in un Hausdorff è chiuso.
Non capisco la domanda che fai nel punto 2). La continuità c'è già come ipotesi, quindi se usi la definizione di proprio con continuità quella proposizione continua a valere, ovvio.
"Martino":
Non capisco la domanda che fai nel punto 2). La continuità c'è già come ipotesi, quindi se usi la definizione di proprio con continuità quella proposizione continua a valere, ovvio.
E' vero quello che dici. Ma se assumo che la definizione non abbia la continuità, alla seconda proposizione, che ho scritto sopra in inglese, si potrebbe togliere la continuità? Cioè, se dico che vale la definizione senza continuità, posso affermare che:
una funzione $f$ è propria se è una funzione chiusa e la controimmagine di ogni punto di $Y$ è compatto,
o mi tocca aggiungere anche qui la continuità?
A giudicare da questo sembra che la continuità non sia necessaria. Inoltre mi sembra che nella dimostrazione di wikipedia non si usi mai la continuità di [tex]f[/tex].
Grazie mille di tutto Martino.
Per me è davvero strana questa arbitrarietà (sul fatto della continuità) in una definizione su un aspetto così delicato.
Alla fine però è un pò come per gli anelli se non ho capito male. C'è chi dice che debbano essere almeno associativi rispetto al prodotto e poi scopri che ci sono alcuni altri che considerano anelli anche quelli non associativi. Mah... Comunque credo di aver dissolto i miei dubbi. Ma mettersi tutti d'accordo no eh ?!
Per me è davvero strana questa arbitrarietà (sul fatto della continuità) in una definizione su un aspetto così delicato.
Alla fine però è un pò come per gli anelli se non ho capito male. C'è chi dice che debbano essere almeno associativi rispetto al prodotto e poi scopri che ci sono alcuni altri che considerano anelli anche quelli non associativi. Mah... Comunque credo di aver dissolto i miei dubbi. Ma mettersi tutti d'accordo no eh
?!
Ma è tanto importante, Isaac? A me non sembra. Sono definizioni, è normale trovare delle differenze, ognuno le dà a suo gusto. La mia opinione è che, alla fine, queste sono chiacchiere prive di gran significato.
[ot]Proprio di recente, ero ad un congresso e assistevo al seminario di una dottoranda. In aula c'erano parecchi ricercatori e prof affermati, alcuni anche piuttosto famosi, e la ragazza era visibilmente terrorizzata. Alla fine, durante il question time, una cretina di signora alza la manina e inizia a tormentare la ragazza con delle domande insulse e fastidiose. "Perché hai definito cosi' quella cosa? Quella definizione non è corretta. Il significato di quel termine è un altro" eccetera. Per intenderci, puoi immaginare che la ragazza stesse parlando di "applicazioni proprie" senza richiederne la continuità, provocando le ire della signora.
La ragazza è andata nel pallone, ma la cosa interessante è che parecchi dei pezzi grossi presenti in sala sono intervenuti subito in sua difesa. "Signora, la definizione è stata data all'inizio del seminario, lei probabilmente non è stata attenta", ha detto uno, suscitando ilarità generale.
La morale della favola è che la matematica vera se ne infischia delle definizioni. Noi, da studenti, ci sentiamo rassicurati quando pensiamo di costruire degli schemi mentali auto-consistenti, come degli armadi a cassetti in cui riporre i teoremi e i concetti di matematica che impariamo. Ma questo non è altro che un sotto-prodotto dell'impostazione nozionistica dell'università, specie dell'università italiana. Tutto questo va bene per prendere un 30 all'esame (orale), ma non serve poi a tanto nella vita vera.[/ot]
[ot]Proprio di recente, ero ad un congresso e assistevo al seminario di una dottoranda. In aula c'erano parecchi ricercatori e prof affermati, alcuni anche piuttosto famosi, e la ragazza era visibilmente terrorizzata. Alla fine, durante il question time, una cretina di signora alza la manina e inizia a tormentare la ragazza con delle domande insulse e fastidiose. "Perché hai definito cosi' quella cosa? Quella definizione non è corretta. Il significato di quel termine è un altro" eccetera. Per intenderci, puoi immaginare che la ragazza stesse parlando di "applicazioni proprie" senza richiederne la continuità, provocando le ire della signora.
La ragazza è andata nel pallone, ma la cosa interessante è che parecchi dei pezzi grossi presenti in sala sono intervenuti subito in sua difesa. "Signora, la definizione è stata data all'inizio del seminario, lei probabilmente non è stata attenta", ha detto uno, suscitando ilarità generale.
La morale della favola è che la matematica vera se ne infischia delle definizioni. Noi, da studenti, ci sentiamo rassicurati quando pensiamo di costruire degli schemi mentali auto-consistenti, come degli armadi a cassetti in cui riporre i teoremi e i concetti di matematica che impariamo. Ma questo non è altro che un sotto-prodotto dell'impostazione nozionistica dell'università, specie dell'università italiana. Tutto questo va bene per prendere un 30 all'esame (orale), ma non serve poi a tanto nella vita vera.[/ot]
Che siano chiacchiere, per chi è al primo incontro con la materia: no!
Mi ricordo dal mio esame di laurea magistrale:
Sempre dal mio esame di laurea magistrale:
È per dire: definisci le funzioni proprie come più ti aggrada o ti conviene, per affrontare il problema oggetto di investigazione!
UPDATE: Come geometra algebrico, i morfismi propri di schemi (affini) sono mappe continue, chiuse con fibre finite; tra l'altro, nel caso generale, si ritrova la proprietà universale (opportunamente riscritta nel linguaggio degli schemi) ricordata da Martino, citando i Bourbaki.
Ciò spiega perché preferisco la definizione di funzione propria (di spazi topologici) come funzione continua, chiusa tale che le anti-immagini di insiemi compatti sono compatte.
Mi ricordo dal mio esame di laurea magistrale:
...A dirla tutta: i morfismi étale sono introdotti nella teoria degli schemi per generalizzare il concetto di funzione aperta; ci sono dei casi, abbastanza generali, in cui tali morfismi sono mappe aperte di schemi. Nella mia tesi non ho richiesto che i morfismi étale come mappe siano aperti; anche se alcuni autori lo fanno!...mi fu risposto:"Vero!" senza altre interruzioni.
Sempre dal mio esame di laurea magistrale:
...Se andate su wikipedia.en, trovate una decina di definizioni equivalenti di algebra di Lie riduttiva: io ho usato solo questa, perché mi conveniva!...nessun commento seguente!
È per dire: definisci le funzioni proprie come più ti aggrada o ti conviene, per affrontare il problema oggetto di investigazione!
UPDATE: Come geometra algebrico, i morfismi propri di schemi (affini) sono mappe continue, chiuse con fibre finite; tra l'altro, nel caso generale, si ritrova la proprietà universale (opportunamente riscritta nel linguaggio degli schemi) ricordata da Martino, citando i Bourbaki.
Ciò spiega perché preferisco la definizione di funzione propria (di spazi topologici) come funzione continua, chiusa tale che le anti-immagini di insiemi compatti sono compatte.
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