Applicazione proiezione

[stagna1]

RE: geometria affine - l'applicazione proiezione dello spazio affine $A$ sul sottospazio affine $S$ parallela al sottospazio vettoriale $U$ (sernesi, geometria 1, p. 111).

riporto un esercizio che sarà certamente banale ma la cui soluzione non mi convince (di certo sbaglio io ).

in $A^3$($CC$) sia $ pi $ il piano di equazione $2X + Y - 1 = 0$. in ciascuno dei seguenti casi calcolare le coordinate di $ p_{u}(x,y,z)$, dove $ p_{u}: A^3 -> pi$ è la proiezione [l'applicazione $ p_{S,u}: A^3 -> S$ ], $(x,y,z) in A^3$ è un punto variabile e $u in CC^3$ è il vettore:
a) $(1,0,0)$ b) $(i,0,0)$ c) $(2i,i,1)$ d) $(0,i,2)$

se ho capito bene si tratta di trovare il punto $P$ per cui passa la retta $r$ di vettore direttore $u$ e che interseca il piano $pi$ in qualche punto.

la soluzione del libro sia per a) che per b) è $((1-y)/2,y,z)$.

a me piace di più $((1-y)/2,y,0)$.

dove sbaglio?

grazie.

[Geppo2]

La vedrei così: se $(x,y,z)$ è il nostro punto, la retta che lo attraversa secondo il vettore $(1,0,0)$ sarà costituita da punti del tipo $(x+t,y,z)$, compreso quello che interseca $\pi$, per cui concordo col la soluzione del libro.

[stagna1]

ma allora non dovrebbe essere $((1-y-2t)/2,y,z)$?

mah...

[Geppo2]

Se intersechiamo $(x+t,y,z)$ col piano $2X+Y-1=0$, si ha: $2(x+t)+y-1=0$ da cui $t=(1-2x-y)/2$. Otteniamo allora:
$(x+t,y,z)=((1-y)/2,x,y)$

[stagna1]

perfetto!

grazie mille.