Applicazione multilineare

[sulne]

aiuto, forse è una domanda stupida ma come si fa a dimostrare questa proposizione?

Sia $Hom(V,W)$ l'insieme delle applicazioni k-lineari da V a W e siano V,W spazi vettoriali. Supponiamo V di dimensione finita e che $B={v_{1},...,v_{n}}$ sia una sua base. dimostrare che l'applicazione $A:Hom(V,W) rarr W^{n}$ t.c. $L |-> A(L)=(L(v_{1}),...,L(v_{n})) $ è un'isomorfismo tra $Hom(V,W)$ e $W_{n}$. in particolare se W ha dimensione finita $dim(Hom(V,W))=(dimV)(dimW)$

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Sai già che $Hom(V,W)$ è un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale. Prova semplicemente a sfruttare la definizione stessa di linearità su $A(L)$ per verificare che sia un omomorfismo. L'iniettività la trovi mostrando che $ker A= \{0\}$ (vale a dire l'unica applicazione lineare $L$ t.c. $L(v_i)=0$ $\forall v_i$ della base è l'applicazione nulla)... Cosa manca?

[sulne]

"JPG":Sai già che $Hom(V,W)$ è un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale. Prova semplicemente a sfruttare la definizione stessa di linearità su $A(L)$ per verificare che sia un omomorfismo. L'iniettività la trovi mostrando che $ker A= \{0\}$ (vale a dire l'unica applicazione lineare $L$ t.c. $L(v_i)=0$ $\forall v_i$ della base è l'applicazione nulla)... Cosa manca?

mi sfugge il significato di omomorfismo. io so che per dimostrare l'isomorfismo devo verificare che l'applicazione è lineare e biettiva. Quindi ok posso dimostrare che è iniettiva ma poi come si dimostra la suriettività?

[sulne]

forse ho trovato un modo più semplice:

un generico vettore di $W^{n}$ si scrive $( L(v_{1} ), ... , L(v_{n} )) $ quindi $( L(v_{1} ),0, ... , 0)),...,( 0,0, ... , L(v_{n}))) $ è una base per $W^{n}$ allora esiste un isomorfismo

[sulne]

però la seconda parte non so come fare

[sulne]

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