Applicazione lineari: immagini e nucleo
Sia \( X = \begin{cases} \end{cases}\begin{pmatrix} a & a \\ a & a \end{pmatrix} / a\in R \)
Definire (se possibile) una applicazione lineare di X in R2[x] tale che l’immagine abbia dimensione almeno 1
(un punto in più se si trova con dimensione 2).
Io devo definire \( f: X \rightarrow R2[x] \)
La dimensione di X è 1, giusto?
Quindi sapendo che la \( dim(Imf)+dim(kerf)= dimX = 1 \) , sicuramente l'immagine non può avere dimensione 2.
Considero quindi
\( f: X \rightarrow R2[x] \)
\( \begin{pmatrix} a & a \\ a & a \end{pmatrix}\rightarrow ax^2 \)
dove l'immagine ha dimensione 1.
Grazie dell'aiuto
Definire (se possibile) una applicazione lineare di X in R2[x] tale che l’immagine abbia dimensione almeno 1
(un punto in più se si trova con dimensione 2).
Io devo definire \( f: X \rightarrow R2[x] \)
La dimensione di X è 1, giusto?
Quindi sapendo che la \( dim(Imf)+dim(kerf)= dimX = 1 \) , sicuramente l'immagine non può avere dimensione 2.
Considero quindi
\( f: X \rightarrow R2[x] \)
\( \begin{pmatrix} a & a \\ a & a \end{pmatrix}\rightarrow ax^2 \)
dove l'immagine ha dimensione 1.
Grazie dell'aiuto
Risposte
Vado con calma; la dimensione di \(\displaystyle X\) è corretta: come lo dimostri?
Il rango della matrice è 1
Sicuro che quelle matrici hanno sempre rango \(\displaystyle 1\)? E se poni \(\displaystyle a=0\)?
...inoltre, il rango di una matrice \(\displaystyle A\) non ha nulla a che fare con la dimensione del sottospazio vettoriale che essa genera in \(\displaystyle\mathbb{R}_m^n\).
Esempio: \(\displaystyle\begin{pmatrix}
a & 0\\
0 & a
\end{pmatrix}\) genera uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle1\) in \(\displaystyle\mathbb{R}_2^2\), ma questa matrice ha rango \(\displaystyle0\) oppure \(\displaystyle2\), in funzione del valore \(\displaystyle a\).
...inoltre, il rango di una matrice \(\displaystyle A\) non ha nulla a che fare con la dimensione del sottospazio vettoriale che essa genera in \(\displaystyle\mathbb{R}_m^n\).
Esempio: \(\displaystyle\begin{pmatrix}
a & 0\\
0 & a
\end{pmatrix}\) genera uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle1\) in \(\displaystyle\mathbb{R}_2^2\), ma questa matrice ha rango \(\displaystyle0\) oppure \(\displaystyle2\), in funzione del valore \(\displaystyle a\).
Si hai ragione. Ha dimensione 1 perché se considero \( \begin{pmatrix} a & a \\ a & a \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \). Quindi una base di X è
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} La dimensione di X è uguale alla cardinalità della sua base
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} La dimensione di X è uguale alla cardinalità della sua base
Esatto; poi come giustamente noti, l'immagine può avere al più dimensione \(\displaystyle1\), quindi decidi quale dev'essere l'immagine del vettore generatore di \(\displaystyle X\) in \(\displaystyle\mathbb{R}[x]_{\leq2}\) e hai concluso. 
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