Applicazione lineare, verificare biettività, iniettività o suriettività

[Zodiac1]

Salve ragazzi, ho un dubbio per quanto riguarda gli esercizi che mi chiedono di verificare l'iniettività, la suriettività e la biettività delle applicazioni lineari. Per la precisione il prof generalmente da due tipi di esercizi:
-Il primo in cui chiede: Data una Applicazione Lineare rappresentata dalla matrice X, determinare se essa è biettiva, suriettiva o iniettiva.
In questo caso io svolgo l'esercizio in questo modo: trovo il rango (e quindi la dimensione della matrice), faccio la trasposta e trovo il rango della trasposta, dopo di che, se le due dimensioni coincidono allora l'applicazione è biettiva, se il rango della matrice è maggiore di quello della trasposta allora abbiamo una applicazione iniettiva, infine se il rango della trasposta è maggiore di quello della matrice iniziale, allora la funzione è suriettiva.
Questo primo tipo di esercizio lo svolgo in modo corretto o sbaglio qualcosa?

-Nel secondo caso il prof da semplicemente una applicazione tale che \(\displaystyle A:R^m\rightarrow R^n \) in questo caso svolgo lo stesso procedimento con m ed n, quindi se
m m>n suriettiva
m=n Biettiva
in questo caso svolgo correttamente oppure sbaglio?

Grazie mille delle risposte!

[Frink1]

Nel primo caso, se ad esempio le dimensioni sono $3xx4$ e la matrice e la sua trasposta hanno rango $2$, l'applicazione non è biettiva! Ti consiglio di tenere a mente che una funzione può essere biettiva solo se gli spazi di partenza e arrivo hanno uguale dimensione. In caso la dimensione dello spazio di partenza sia più piccola, ad esempio, di quello di arrivo, al massimo l'applicazione potrà essere iniettiva ma non certo suriettiva! VIceversa, un'applicazione da uno spazio più grande di quello d'arrivo sarà tuttalpiù suriettiva ma non certo iniettiva.

Se hai dubbi, posso dilungarmi di più!