Applicazione lineare + V sottospazio

[Andrea9905]

Buongiorno a tutti...
Non riesco a interpretare l'ultima richiesta di un esercizio...

Sia f: $RR^3 rarr RR^3$ l'applicazione $RR$-lineare definita da $f(x)=((1,2,1),(1,3,2),(1,2,1))x$
Si indichino una base di $Imf$ e una di $kerf$.
Sia V il sottospazio di $RR^3$ delle soluzioni di:
$x_1-x_2+x_3=0$ con $x in RR^3$
Si provi che f è iniettiva.

Io fino a indicare le basi non ho trovato problemi. Mi sono inceppato in quest'ultima richiesta...
A prima vista mi sarebbe venuto da fare così:
Trovare una base del sottospazio V
Andare a sostituire all'applicazione ogni singolo vettore della base di V e dimostrare che ogni w (di f(v)=w) è combinazione lineare degli elementi della matrice A...
Solo che vorrei avere una conferma da qualcuno...

Grazie,
Andrea

[mistake89]

Determina un generico vettore di $V$, restringi la $f$ a $V$ e prova che il nucleo è banale.

[Andrea9905]

Puoi spiegarti meglio? Non ho capito se ho fatto bene o male...

Non ho capito qual è il tuo GENERICO VETTORE...

è v=((x_1),(-x_2),(x_3))

oppure è un vettore preso a caso appartenente a V?

Grazie,
Andrea

[mistake89]

Allora, io credo che la traccia voglia sapere se $f$ ristretta a quel sotto spazio è iniettiva. Altrimenti non avrebbe senso avere un sottospazio di $RR^3$ per studiare l'ingettività su tutto $RR^3$.

perciò prendi un vettore generico $(x_1,x_1+x_3,x_3)$, ne fai l'immagine e ponila uguale a $0$ e vedi se è banale o no.

Altrimenti non ho capito la traccia e ti chiedo allora di essere un pò più chiaro!

[Andrea9905]

Ok! mi torna adesso... La traccia è stata scritta dal professore nel suo libro... quindi non credo sia sbagliata... magari poteva essere poco chiara...

Grazie per la pazienza mistake89!
Andrea