Applicazione lineare tangente
Metto qui una situazione piuttosto semplice, sperando poi di saper generalizzare in caso di risposte positive.
$M$ è una sottovarietà liscia di dimensione $1$ di $RR^2$.
Supponiamo di avere in ogni $x inM$ un versore tangente $v(x)$ e un versore normale $n(x)$ che variano in maniera liscia.
Definiamo $g:MxxRR->RR^2$ con $g(x,t)=x+tn(x)$ e consideriamo l'applicazione lineare tangente $dg_(x,t):T_xMxxRR->RR^2$.
A me sembra che $dg_(x,0)$, nelle basi ${(v(x),0), (0,1)}$ di $T_xMxxRR$ e ${v(x), n(x)}$ di $RR^2$ dovrebbe essere rappresentata dall'identità o da qualcosa di simile, ma non capisco come potrei mostrarlo.
Qualche idea?
$M$ è una sottovarietà liscia di dimensione $1$ di $RR^2$.
Supponiamo di avere in ogni $x inM$ un versore tangente $v(x)$ e un versore normale $n(x)$ che variano in maniera liscia.
Definiamo $g:MxxRR->RR^2$ con $g(x,t)=x+tn(x)$ e consideriamo l'applicazione lineare tangente $dg_(x,t):T_xMxxRR->RR^2$.
A me sembra che $dg_(x,0)$, nelle basi ${(v(x),0), (0,1)}$ di $T_xMxxRR$ e ${v(x), n(x)}$ di $RR^2$ dovrebbe essere rappresentata dall'identità o da qualcosa di simile, ma non capisco come potrei mostrarlo.
Qualche idea?
Risposte
Soluzione trovata, purtroppo passando per la definizione di applicazione lineare tangente attraverso le carte. Quando ho un po' di voglia la scrivo.
La leggo volentieri.
Ho letto il tuo post, ma non sono sicuro di aver capito bene il problema.
Ho letto il tuo post, ma non sono sicuro di aver capito bene il problema.
Il problema è dimostrare che $dg_(x,o)$ sia invertibile, e alla fine in effetti era elementare 
(niente carte locali!).
Il fatto che $n(x)$ sia una funzione liscia significa per definizione (una delle possibili definizioni) che ogni $x$ ha un intorno $U$ aperto in $RR^2$ tale che $n$ si prolunghi in una funzione liscia $\barn:U->RR^2$.
Allora localmente $g$ è la restrizione della funzione liscia $\bar(g):UxxRR->RR^2$ definita da $\bar(g)(x,t)=x+t\barn(x)$.
Abbiamo dunque un'applicazione $d\bar(g)_(x,0):RR^2xxRR->RR^2$ di matrice jacobiana $J=((1,0,n_1(x)),(0,1,n_2(x)))$ e per definizione (anche qui, una delle possibili definizioni...) $dg_(x,0)$ è la restrizione di $d\bar(g)_(x,0)$ al piano tangente $T_xMxxRR$ di $d\bar(g)_(x,0)$.
Adesso per trovare la matrice associata a $dg_(x,0)$ in quelle basi è sufficiente calcolare con $J$ le immagini dei vettori della base dello spazio di partenza e esprimerli nella base dello spazio di arrivo, e si verifica in due secondi che viene l'identità $2xx2$.
(niente carte locali!).Il fatto che $n(x)$ sia una funzione liscia significa per definizione (una delle possibili definizioni) che ogni $x$ ha un intorno $U$ aperto in $RR^2$ tale che $n$ si prolunghi in una funzione liscia $\barn:U->RR^2$.
Allora localmente $g$ è la restrizione della funzione liscia $\bar(g):UxxRR->RR^2$ definita da $\bar(g)(x,t)=x+t\barn(x)$.
Abbiamo dunque un'applicazione $d\bar(g)_(x,0):RR^2xxRR->RR^2$ di matrice jacobiana $J=((1,0,n_1(x)),(0,1,n_2(x)))$ e per definizione (anche qui, una delle possibili definizioni...) $dg_(x,0)$ è la restrizione di $d\bar(g)_(x,0)$ al piano tangente $T_xMxxRR$ di $d\bar(g)_(x,0)$.
Adesso per trovare la matrice associata a $dg_(x,0)$ in quelle basi è sufficiente calcolare con $J$ le immagini dei vettori della base dello spazio di partenza e esprimerli nella base dello spazio di arrivo, e si verifica in due secondi che viene l'identità $2xx2$.
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