Applicazione lineare suriettiva e iniettiva [dim]

[serafinon]

Vorrei chiedere un aiuto su come dimostrare (dato che non sono in grado e ci ho molto provato) che:
(sia f: V->W e la matrice assiciata a tale a.l.)

- dire: il rango di una matrice (associata) è uguale al n di righe equivale a dire che la funzione è suriettiva.
- dire: il rango della matrice è uguale al n di colonne equivale a dire che la funzione è iniettiva.

Ho capito solo intuitivamente il perché sfruttando il teorema delle dimensioni e che
-- dim(Im(f))=dim(V) => f iniettiva
-- dim(IM(f))=dim(W) => f suriettiva

Vorrei tanto vederlo dimostrato però

[apatriarca]

1. Se la matrice associata \(A\) ha tutte le righe linearmente indipendenti allora possiamo applicare delle operazioni di riga su A per ottenere una matrice diagonale nel blocco \(n \times n\) in alto a sinistra. Questa matrice risultante è suriettiva. Le operazioni sulle righe sono invertibili e quindi anche le loro matrici associate lo sono per cui sono in particolare suriettive. Siccome \(f\) può quindi essere scritta come la composizione di funzioni suriettive allora è a sua volta suriettiva.

2. L'idea è molto simile a quella precedente.