Applicazione lineare secondo un altra base
Mi aiutate a capire come cambia la matrice associata usando al posto della sua base canonica con un altra base? sul libro che al (momento qui non tengo lasciato a casa per sbadataggine) mi mostrava come la matrice associata aveva certe coordinate e come cambiando la base di partenza le coordinate si trasformassero. Spero di essermi spiegato.
Risposte
se sai come si costruisce la matrice associata ad un applicazione lineare per vedere come questa cambia in funzione della base che tu scegli devi rifarti tutti i passaggi...al momento anche io sto studiando le applicazioni lineari e ancora non ho scoperto nessun modo che mi faccia cambiare la matrice in base alla base che scelgo.
Io sul libro ho un esempio che non spiega pero perché il vettore della matrice associata cambia in quel modo
ke libro usi?
Il mio libro é geometria analitica con elementi di algebra lineare di marco abate e chiara de fabritiis
Conosci le matrici di cambiamento di base?
Siano $ epsilon=(e_1,e_2,e_3), V=(v_1,v_2,v_3), W=(w_1,w_2,w_3)$ basi di uno spazio vettoriale $\mathbb {K}^3$, definiamo la matrice di cambiamento di base da $epsilon$ a $V$ in questo modo:
$\{(v_1=a_(1,1)e_1 + a_(2,1) e_2 + a_(3,1) e_3),(v_2=a_(1,2)e_1 + a_(2,2) e_2 + a_(3,2) e_3),(v_3=a_(1,3)e_1 + a_(2,3) e_2 + a_(3,3) e_3):}=>alpha_(epsilon,V)(Id)=((a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)),(a_(2,1),a_(2,2),a_(2,3)),(a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)))$
Infatti, se applicassi il primo vettore della base canonica otterresti:
$((a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)),(a_(2,1),a_(2,2),a_(2,3)),(a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)))((1),(0),(0))= ((a_(1,1)),(a_(2,1)),(a_(3,1)))$
E questo non è altro che il primo vettore della base $V$ espresso nella base canonica.
Supponiamo di voler fare il contrario, cioè passare dalla base $V$ alla canonica, ci sono due modi:
1) Ripercorro quanto fatto in precedenza e ottengo la matrice. (Non è sempre facile)
2) Se applico questa nuova matrice alla matrice $alpha_(epsilon,V)(Id)$ appena trovata devo ottenere l'identità, quindi non è altro che l'inversa:
$alpha_(epsilon,V)^(-1)(Id)=alpha_(V,epsilon)(Id)$
Adesso invece vogliamo esprimere i vettori della base $V$ attraverso i vettori di $W$, anche qui ci sono un paio di metodi:
1) Esprimo i vettori di $V$ nella base $W$ e quindi formo la mia matrice. (Non è sempre facile)
2) Passo per la base canonica:
$alpha_(W,V)(Id)=alpha_(W,epsilon)(Id)alpha_(epsilon,V)(Id)$
Hai capito fino a qui?
Siano $ epsilon=(e_1,e_2,e_3), V=(v_1,v_2,v_3), W=(w_1,w_2,w_3)$ basi di uno spazio vettoriale $\mathbb {K}^3$, definiamo la matrice di cambiamento di base da $epsilon$ a $V$ in questo modo:
$\{(v_1=a_(1,1)e_1 + a_(2,1) e_2 + a_(3,1) e_3),(v_2=a_(1,2)e_1 + a_(2,2) e_2 + a_(3,2) e_3),(v_3=a_(1,3)e_1 + a_(2,3) e_2 + a_(3,3) e_3):}=>alpha_(epsilon,V)(Id)=((a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)),(a_(2,1),a_(2,2),a_(2,3)),(a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)))$
Infatti, se applicassi il primo vettore della base canonica otterresti:
$((a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)),(a_(2,1),a_(2,2),a_(2,3)),(a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)))((1),(0),(0))= ((a_(1,1)),(a_(2,1)),(a_(3,1)))$
E questo non è altro che il primo vettore della base $V$ espresso nella base canonica.
Supponiamo di voler fare il contrario, cioè passare dalla base $V$ alla canonica, ci sono due modi:
1) Ripercorro quanto fatto in precedenza e ottengo la matrice. (Non è sempre facile)
2) Se applico questa nuova matrice alla matrice $alpha_(epsilon,V)(Id)$ appena trovata devo ottenere l'identità, quindi non è altro che l'inversa:
$alpha_(epsilon,V)^(-1)(Id)=alpha_(V,epsilon)(Id)$
Adesso invece vogliamo esprimere i vettori della base $V$ attraverso i vettori di $W$, anche qui ci sono un paio di metodi:
1) Esprimo i vettori di $V$ nella base $W$ e quindi formo la mia matrice. (Non è sempre facile)
2) Passo per la base canonica:
$alpha_(W,V)(Id)=alpha_(W,epsilon)(Id)alpha_(epsilon,V)(Id)$
Hai capito fino a qui?
"Maci86":
Conosci le matrici di cambiamento di base?
Siano $ epsilon=(e_1,e_2,e_3), V=(v_1,v_2,v_3), W=(w_1,w_2,w_3)$ basi di uno spazio vettoriale $\mathbb {K}^3$, definiamo la matrice di cambiamento di base da $epsilon$ a $V$ in questo modo:
$\{(v_1=a_(1,1)e_1 + a_(2,1) e_2 + a_(3,1) e_3),(v_2=a_(1,2)e_1 + a_(2,2) e_2 + a_(3,2) e_3),(v_3=a_(1,3)e_1 + a_(2,3) e_2 + a_(3,3) e_3):}=>alpha_(epsilon,V)(Id)=((a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)),(a_(2,1),a_(2,2),a_(2,3)),(a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)))$
Infatti, se applicassi il primo vettore della base canonica otterresti:
$((a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3)),(a_(2,1),a_(2,2),a_(2,3)),(a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3)))((1),(0),(0))= ((a_(1,1)),(a_(2,1)),(a_(3,1)))$
E questo non è altro che il primo vettore della base $V$ espresso nella base canonica.
Supponiamo di voler fare il contrario, cioè passare dalla base $V$ alla canonica, ci sono due modi:
1) Ripercorro quanto fatto in precedenza e ottengo la matrice. (Non è sempre facile)
2) Se applico questa nuova matrice alla matrice $alpha_(epsilon,V)(Id)$ appena trovata devo ottenere l'identità, quindi non è altro che l'inversa:
$alpha_(epsilon,V)^(-1)(Id)=alpha_(V,epsilon)(Id)$
Adesso invece vogliamo esprimere i vettori della base $V$ attraverso i vettori di $W$, anche qui ci sono un paio di metodi:
1) Esprimo i vettori di $V$ nella base $W$ e quindi formo la mia matrice. (Non è sempre facile)
2) Passo per la base canonica:
$alpha_(W,V)(Id)=alpha_(W,epsilon)(Id)alpha_(epsilon,V)(Id)$
Hai capito fino a qui?
Tu cosi mi hai spiegato il cambiamento di base e questo io ne ero a conoscenza ora pero come lo applichi ad una funzione?
Se lo conosci allora bastava usarlo, ci sono due modi:
1) Calcolarlo vettore per vettore
2) Applichi la matrice di cambiamento di base prima e dopo la funzione:
$f_(V,V)= alpha_(V,epsilon)(Id) f_(epsilon,epsilon) alpha_(epsilon,V)(Id)$
1) Calcolarlo vettore per vettore
2) Applichi la matrice di cambiamento di base prima e dopo la funzione:
$f_(V,V)= alpha_(V,epsilon)(Id) f_(epsilon,epsilon) alpha_(epsilon,V)(Id)$
Allora provo e poi ti dico
Scusa mi faresti due piaceri:
1) mi mostri il metodo piu veloce per ottenere la matrice di cambiamento di base?
2) mi fai vedere con un esempio il passaggio dalle coordinate da una base all'altra?
1) mi mostri il metodo piu veloce per ottenere la matrice di cambiamento di base?
2) mi fai vedere con un esempio il passaggio dalle coordinate da una base all'altra?
ciao, non penso che ci sia un metodo più veloce perché tutto dipende da che base parte a che base vai...comunque anke io avevo i tuoi stessi dubbi...ti consiglio di leggerti la dispensa "algebra lineare for dummies" dove c'è anche degli esempi sul cambiamento di base
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