Applicazione Lineare risoluzione esercizio

[DriveKnight]

Salve,

Ho un esercizio da tema d'esame che mi fa spuntare dubbi sulla risoluzione, soprattutto perchè il prof non ne ha risolti di così a lezione. Il mio dubbio è più che altro la domanda a e b, che strategie dovrei applicare?
La domanda propone 3 esempi di un'applicazione lineare L: R^3 --> R^4 (immaginate gli elementi in colonna)

con L ( 1 1 2) = (-1 1 1 1) ; L ( 2 2 0) = (2 2 6 6) ; L(0 3 0)= ( 0 3 3 6)
chiede di

a) calcolare L(0 0 2) e L(3 3 2). E qui ho cercato di seguire una logica ma serve trovare la funzione, qui ripeto è un esercizio che il mio prof non ha fatto da nessuna parte
b) matrice A tale per cui L =L in funzione di A.
c) dire se L è iniettiva, altrimenti determinare eq. cartesiane di KerL
d) determinare base di imL e eq. cartesiane per imL

Grazie e a presto

[Bokonon]

Ma proprio zero idee?
Partiamo dal punto a )
Usiamo la linearità per calcolare L(0,0,2)

Primo passo, troviamo una combinazione dei vettori di $RR^3$ fornitici che ci restituisca il vettore obiettivo.
$2*(1,1,2)-(2,2,0)=(0,0,4)=2*(0,0,2)$

pertanto

$L[2*(1,1,2)-(2,2,0)]=L[2*(0,0,2)]$
$2*L(1,1,2)-L(2,2,0)=2*L(0,0,2)$
Quindi $L(0,0,2)=L(1,1,2)-1/2*L(2,2,0)$

Riesci a completare il calcolo?

Adesso, riesci a risolvere $L(3,3,2)$? (Hint: anche in questo caso il vettore (0,3,0) non serve)

[DriveKnight]

Ho risolto grazie, praticamente prendo lo stesso procedimento per le controparti in R^4

Per il punto b prendo i risultati e li metto in matrice.

[Bokonon]

Bene, anche se il punto B era oscuro.
Puoi trovare la matrice rispetto alla base canonica comunque