Applicazione lineare ricavata da generatori sottospazio
Salve, purtroppo di geometria sono messo piuttosto male.
Sia $W$ il sottospazio di $R^3$ generato da $v_1=(1,1,1), v_2=(0,2,1), v_3=(1,-1,0)$.
Determinare un'applicazione lineare $f:R^3->R^3$ tale che $Im(f)=W$.
Come si fa? Non ho capito la relazione che c'è tra questi tre generatori del sottospazio $W$ e la dimensione dell'$Im(f)$.
Sia $W$ il sottospazio di $R^3$ generato da $v_1=(1,1,1), v_2=(0,2,1), v_3=(1,-1,0)$.
Determinare un'applicazione lineare $f:R^3->R^3$ tale che $Im(f)=W$.
Come si fa? Non ho capito la relazione che c'è tra questi tre generatori del sottospazio $W$ e la dimensione dell'$Im(f)$.
Risposte
Per esempio:
$\{(f(1;0;0)=(1;1;1)),(f(0;1;0)=(0;2;1)),(f(0;0;1)=(1;-1;0)):}$
$\{(f(1;0;0)=(1;1;1)),(f(0;1;0)=(0;2;1)),(f(0;0;1)=(1;-1;0)):}$
Sia $f:V\to W$ un'applicazione lineare. Siano $B,B'$ basi rispettivamente di $V, W$. La matrice associata a $f$ rispetto alle basi $B,B'$ è una matrice di dimensioni $dimW \times dim V$ tale che la sua colonna $i$-esima è l'immagine del vettore $i$-esimo della base $B$ espresso in coordinate rispetto alla base $B'$.
Non solo: le colonne della matrice sono i generatori di $Imf$ . Nel tuo caso ti conviene che $B, B'$ siano la base canonica di $\mathbb{R}^3$.
Rifletti su questo.
Paola
Non solo: le colonne della matrice sono i generatori di $Imf$ . Nel tuo caso ti conviene che $B, B'$ siano la base canonica di $\mathbb{R}^3$.
Rifletti su questo.
Paola
Allora, vediamo se ho capito. L'applicazione lineare data è $f:V->W$. $v_1, v_2 e v_3$ sono tre vettori che generano il sottospazio $W$ di $R^3$, cioè $W$ è una combinazione lineare di essi. Il fatto che si chieda la coincidenza dell'$Im(f)$ con $W$, significa che prendendo una base qualsiasi di $V$, le immagini dei vettori di questa base devono essere uguali ai tre vettori generatori di $W$?
In realtà sei stato troppo restrittivo. Basta che le immagini dei vettori di una base appartengano al sottospazio generato dai vettori assegnati. Chiaramente, se viene chiesta solo una di queste trasformazioni, quello da te (e da me nel primo messaggio) indicato è il procedimento più veloce.
scusami, ho capito cosa intendi con "basta che le immagini dei vettori di una base appartengano al sottospazio generato dai vettori assegnati", ma non ho capito in che senso sono stato troppo restrittivo, e l'ultima cosa che hai detto.
Nel senso che puoi anche porre:
$\{(f(1;0;0)=vec a_1),(f(0;1;0)=vec a_2),(f(0;0;1)=vec a_3):}$
essendo ${vec a_1,vec a_2,vec a_3}$ combinazioni lineari di ${vec v_1,vec v_2,vec v_3}$.
Del resto, se prendi ${vec a_1,vec a_2,vec a_3}-={vec v_1,vec v_2,vec v_3}$ perchè sei interessato solo ad una delle infinite trasformazioni che godono di quella proprietà, la risoluzione è più immediata.
$\{(f(1;0;0)=vec a_1),(f(0;1;0)=vec a_2),(f(0;0;1)=vec a_3):}$
essendo ${vec a_1,vec a_2,vec a_3}$ combinazioni lineari di ${vec v_1,vec v_2,vec v_3}$.
Del resto, se prendi ${vec a_1,vec a_2,vec a_3}-={vec v_1,vec v_2,vec v_3}$ perchè sei interessato solo ad una delle infinite trasformazioni che godono di quella proprietà, la risoluzione è più immediata.
ok ora è tutto chiaro ti ringrazio!!
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