Applicazione lineare- problema sottospazio
Salve, vi scrivo perchè ho un problema con una richiesta che ho trovato in un esercizio.
Ho l'appl. lineare $F:R^3->R^2$ Tale che $f(a, b , c)=(a+b-c , a+c)$ per ogni elemento $(a,b,c)$ di $R^3$.
Richiesta a: Scrivere una base dei Sottospazi $KerF$ e $F(R^3)$
Dunque.. ho attuato i seguenti passaggi:
Trovato la matrice associata $A$: $((1,1,-1),(1,0,1))$, che ha $Rg(A)=2$, rango 2.
Quindi, anche se non era richiesto dall'esercizio, ho detto che è suriettiva, ma NON iniettiva.
Dopo, ho posto le righe linearmente indipendenti=0, ovvero $Ax=0$.
Quindi ho trovato, risolvendo il sistema, che il mio vettore avrà sempre $(-c,2c,c)$, come forma. E questa è la base del sottospazio di $KerF$.
A questo punto, come trovo la base del sottospazio di $F(R^3)$?
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Richiesta b: determinare un vettore $v$ tale che $F(v)=(-1,1)$
Ho messo in un sistema, ${((a+b+c=-1),(a+c=1))$, trovando che il vettore è espresso nella form $(1-c,2c-2,c)$.
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Richiesta c: Dire se c'è un sottospazio $U$ di $R^3$ di dimensione due tale che $F(U)=F(R^3)$.
Qui, non so proprio da che parte voltarmi.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Ho l'appl. lineare $F:R^3->R^2$ Tale che $f(a, b , c)=(a+b-c , a+c)$ per ogni elemento $(a,b,c)$ di $R^3$.
Richiesta a: Scrivere una base dei Sottospazi $KerF$ e $F(R^3)$
Dunque.. ho attuato i seguenti passaggi:
Trovato la matrice associata $A$: $((1,1,-1),(1,0,1))$, che ha $Rg(A)=2$, rango 2.
Quindi, anche se non era richiesto dall'esercizio, ho detto che è suriettiva, ma NON iniettiva.
Dopo, ho posto le righe linearmente indipendenti=0, ovvero $Ax=0$.
Quindi ho trovato, risolvendo il sistema, che il mio vettore avrà sempre $(-c,2c,c)$, come forma. E questa è la base del sottospazio di $KerF$.
A questo punto, come trovo la base del sottospazio di $F(R^3)$?
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Richiesta b: determinare un vettore $v$ tale che $F(v)=(-1,1)$
Ho messo in un sistema, ${((a+b+c=-1),(a+c=1))$, trovando che il vettore è espresso nella form $(1-c,2c-2,c)$.
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Richiesta c: Dire se c'è un sottospazio $U$ di $R^3$ di dimensione due tale che $F(U)=F(R^3)$.
Qui, non so proprio da che parte voltarmi.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Un piccolissimo "Up!", per non far crollare questa discussione nei meandri del forum!
Vi ringrazio, scusate per l'insistenza ma è un punto che mi mette parecchio in difficoltà!
Vi ringrazio, scusate per l'insistenza ma è un punto che mi mette parecchio in difficoltà!
Prima alcune precisazioni.
Come ti dice il testo, ti è richiesta una base per ciascuno dei due sottospazi, pertanto è scorretto dire: "la base".
Inevitabilmente, questa idea si ripercuote sulla tua modalità di svolgimento dell'esercizio, dato che tu chiami "base" un vettore generico del sottospazio, quando in realtà una base è un insieme ordinato di vettori fissati (nel caso del nucleo di $ F $, basta un solo vettore non nullo per individuare una delle sue infinite basi).
Tenendo presente che i risultati da te ottenuti fino alla risoluzione del sistema lineare che definisce il nucleo dell'applicazione sono corretti, abbiamo che una base di $ \ker $ $ F $ è l'insieme $ \{ (-1, 2, 1) \} $.
Richiesta a)
Avendo la matrice associata a $ F $ rispetto alle basi canoniche e avendo stabilito che tale matrice ha rango $ 2 $, sai immediatamente una base di $ F(\mathbb{R}^3) $: tale base è formata da due dei tre vettori che hanno come componenti le colonne di $ A $.
A te l'onore di scrivere una base di $ F(\mathbb{R}^3) $.
Richiesta b)
L'esercizio ti chiede una controimmagine del vettore $ (-1,1) $; hai quindi commesso lo stesso errore di prima (trascurando il fatto che hai sbagliato un segno nell'impostazione del sistema lineare).
Alla luce di quanto detto prima, correggi la risposta.
Richiesta c)
La richiesta consiste nello stabilire se si può restringere $ F $ ad un'applicazione lineare $ F : U \subset \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 $.
Basta ricordare che, se $ f $ $ : $ $ V \rightarrow W $ è un'applicazione lineare di $ \mathbb{K} $-spazi vettoriali, allora $ f(V) $ è generato dalle immagini dei vettori di una base di $ V $.
A questo punto, dato che $ F(\mathbb{R}^3) $ è generata dai vettori $ (1,1) $, $ (1,0) $ e $ (-1,1) $ (che sono linearmente dipendenti e quindi possiamo toglierne uno), prendendo le controimmagini dei vettori di una base di $ F(\mathbb{R}^3) $ si ottiene lo stesso sottospazio, pertanto sono sufficienti due vettori della base canonica per individuare $ F(\mathbb{R}^3) $.
Di conseguenza, un tale sottospazio esiste ed è per esempio il sottospazio generato dai vettori $ (1,0,0) $ e $ (0,1,0) $, che ha dimensione $ 2 $ per ovvi motivi.
Come ti dice il testo, ti è richiesta una base per ciascuno dei due sottospazi, pertanto è scorretto dire: "la base".
Inevitabilmente, questa idea si ripercuote sulla tua modalità di svolgimento dell'esercizio, dato che tu chiami "base" un vettore generico del sottospazio, quando in realtà una base è un insieme ordinato di vettori fissati (nel caso del nucleo di $ F $, basta un solo vettore non nullo per individuare una delle sue infinite basi).
Tenendo presente che i risultati da te ottenuti fino alla risoluzione del sistema lineare che definisce il nucleo dell'applicazione sono corretti, abbiamo che una base di $ \ker $ $ F $ è l'insieme $ \{ (-1, 2, 1) \} $.
Richiesta a)
Avendo la matrice associata a $ F $ rispetto alle basi canoniche e avendo stabilito che tale matrice ha rango $ 2 $, sai immediatamente una base di $ F(\mathbb{R}^3) $: tale base è formata da due dei tre vettori che hanno come componenti le colonne di $ A $.
A te l'onore di scrivere una base di $ F(\mathbb{R}^3) $.
Richiesta b)
L'esercizio ti chiede una controimmagine del vettore $ (-1,1) $; hai quindi commesso lo stesso errore di prima (trascurando il fatto che hai sbagliato un segno nell'impostazione del sistema lineare).
Alla luce di quanto detto prima, correggi la risposta.
Richiesta c)
La richiesta consiste nello stabilire se si può restringere $ F $ ad un'applicazione lineare $ F : U \subset \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 $.
Basta ricordare che, se $ f $ $ : $ $ V \rightarrow W $ è un'applicazione lineare di $ \mathbb{K} $-spazi vettoriali, allora $ f(V) $ è generato dalle immagini dei vettori di una base di $ V $.
A questo punto, dato che $ F(\mathbb{R}^3) $ è generata dai vettori $ (1,1) $, $ (1,0) $ e $ (-1,1) $ (che sono linearmente dipendenti e quindi possiamo toglierne uno), prendendo le controimmagini dei vettori di una base di $ F(\mathbb{R}^3) $ si ottiene lo stesso sottospazio, pertanto sono sufficienti due vettori della base canonica per individuare $ F(\mathbb{R}^3) $.
Di conseguenza, un tale sottospazio esiste ed è per esempio il sottospazio generato dai vettori $ (1,0,0) $ e $ (0,1,0) $, che ha dimensione $ 2 $ per ovvi motivi.
Ti ringrazio molto per la tua risposta.
Per quanto riguarda la richiesta b, ho sbagliato il segno solo qui sul forum, per fortuna.
Grazie Mille!
Per quanto riguarda la richiesta b, ho sbagliato il segno solo qui sul forum, per fortuna.
Grazie Mille!
Figurati.
Comunque il sistema lineare è in questo caso superfluo, dato che si vede subito che $ (-1, 1) = F(0,0,1) $; pertanto una controimmagine del vettore $ (-1,1) $ è il terzo vettore della base canonica (cioè $ (0,0,1) $).
Effettivamente, sostituendo tali componenti nell'insieme soluzione del sistema da te trovato, scopri che tale vettore appartiene all'insieme (questo tra l'altro conferma che il segno l'hai sbagliato solo qui).
Comunque il sistema lineare è in questo caso superfluo, dato che si vede subito che $ (-1, 1) = F(0,0,1) $; pertanto una controimmagine del vettore $ (-1,1) $ è il terzo vettore della base canonica (cioè $ (0,0,1) $).
Effettivamente, sostituendo tali componenti nell'insieme soluzione del sistema da te trovato, scopri che tale vettore appartiene all'insieme (questo tra l'altro conferma che il segno l'hai sbagliato solo qui).
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