Applicazione lineare... non è banale :)
Ciao a tutti, ho 3 vettori, v1=(1,1,1); v2=(1,0,-1) e v3=(0,1,0) e ho un'applicazione lineare f : R^3----->R^3 così definita:
f(v1)=2v1, f(v2)=-v2, f(v3)=(0,0,0)
Come faccio a determinare f^-1(1,2,0)? Sarebbe l'inversa in (1,2,0) ma non ho trovato le formule
f(v1)=2v1, f(v2)=-v2, f(v3)=(0,0,0)
Come faccio a determinare f^-1(1,2,0)? Sarebbe l'inversa in (1,2,0) ma non ho trovato le formule
Risposte
non ne ho idea...spero di capirle queste cose prima o poi...e spero che domani paolo ci dia una mano
Buongiorno signori,
perdonate ma ieri sera il sonno ha avuto la meglio
Mettiamo un po' di ordine (scusate se sembro maniaco dell'ordine ma in queste cose è fondamentale).
Punto 1. Consideriamo un endomorfismo $f$ di $RR^3$. Ci viene data l'immagine di tre vettori (le cui componenti sono date - presumo - rispetto alla base canonica), speriamo siano linearmente indipendenti in modo da formare una base. Un rapido controllo mostra che lo sono, quindi siamo a posto: l'endomorfismo è ben definito. Chiamiamo d'ora in poi $B$ la base canonica, $B'={(1,1,1), (1,0,-1), (0,1,0)}$.
Qual è la matrice associata a $f$ rispetto alla base $B'$? Semplice: $A=M^(B')(f)=((2,0,0),(0,-1,0),(0,0,0))$ ottenuta mettendo in colonna le componenti (rispetto a $B'$) delle immagini dei vettori di $B'$.
Punto 2. Adesso abbiamo il vettore $(1,2,0)$, le cui componenti sono date ovviamente rispetto alla base canonica: ci piacerebbe esprimere le sue componenti rispetto $B'$ per un motivo che in seguito sarà più chiaro.
Allora il problema è questo: dato un vettore $x$ rispetto alla vecchia base, come trovo le sue componenti rispetto alla nuova base?
Per fare questo si scrive una matrice, detta matrice del cambiamento di base, che io chiamerò $P$, ottenuta in questo modo: si mettono in colonna le componenti dei vettori della base nuova rispetto a quella vecchia.
In altre parole, il vettore $(1,1,1)$ è un vettore della nuova base, le cui componenti sono date rispetto a quella vecchia: la prima colonna della matrice $P$ sarà proprio $((1),(1),(1))$. E così via per le altre due:
$P=((1,1,0),(1,0,1),(1,-1,0))$
Adesso che abbiamo costruito $P$ la via è semplice: la relazione che lega le componenti del vettore $X$ rispetto alla vecchia base con le componenti di $X$ stesso rispetto a quella nuova è $X=PX'$.
In altre parole, voi avete $X=(1,2,0)$ rispetto alla base canonica. Dovete cercare $X'$ che rappresenta $(1,2,0)$ rispetto a $B'$. Che fate?
$X=PX'=> PX'=X =>((1,1,0),(1,0,-1),(0,1,0))X'=((1),(2),(0))$
E' un sistema lineare, tre equazioni tre incognite. Ammette sicuramente una e una sola soluzione (deve ammetterla, se no abbiamo sbagliato i conti) perchè $B'$ è una base. Lascio a voi i dettagli sui conti.
Una volta risolto il sistema, i tre numeri trovati saranno proprio le componenti di $X$ rispetto a $B'$.
Punto 3. Adesso siamo finalmente pronti per ultimare l'esercizio. Ragioniamo nella nuova base e chiediamoci: dobbiamo determinare $f^-1(a, b, c)$ dove ($a,b,c$ sono i numeri che avete trovato risolvendo il sistema). Che significa ciò?
Vuol dire cercare i vettori di $RR^3$ tipo $(x,y,z)$ tali che $f(x,y,z)=(a,b,c)$. Ma chi è $f(x,y,z)$?
Semplice: $f(x,y,z)=A((x),(y),(z))$ dove $A$ è la matrice associata a $f$.
Quindi siamo di nuovo lì: determinare $(x,y,z)$ tale che $((2,0,0),(0,-1,0),(0,0,0))((x),(y),(z))=((a),(b),(c))$
E questo è un altro sistema lineare. Risolto anche questo è fatta: abbiamo trovato il/i vettori $(x,y,z)$ (le cui componenti sono date rispetto a $B'$) la cui immagine è il vettore di partenza (espresso nella nuova base, d'accordo, ma è sempre lui).
Ci siamo?
Non rispondete di getto, per piacere. Non è immediato, probabilmente, tutto ciò, quindi vi prego di meditare a fondo e sforzarvi di capire: ovviamente, però, se ci sono problemi, non esitate a chiedere.
perdonate ma ieri sera il sonno ha avuto la meglio
Mettiamo un po' di ordine (scusate se sembro maniaco dell'ordine ma in queste cose è fondamentale).
Punto 1. Consideriamo un endomorfismo $f$ di $RR^3$. Ci viene data l'immagine di tre vettori (le cui componenti sono date - presumo - rispetto alla base canonica), speriamo siano linearmente indipendenti in modo da formare una base. Un rapido controllo mostra che lo sono, quindi siamo a posto: l'endomorfismo è ben definito. Chiamiamo d'ora in poi $B$ la base canonica, $B'={(1,1,1), (1,0,-1), (0,1,0)}$.
Qual è la matrice associata a $f$ rispetto alla base $B'$? Semplice: $A=M^(B')(f)=((2,0,0),(0,-1,0),(0,0,0))$ ottenuta mettendo in colonna le componenti (rispetto a $B'$) delle immagini dei vettori di $B'$.
Punto 2. Adesso abbiamo il vettore $(1,2,0)$, le cui componenti sono date ovviamente rispetto alla base canonica: ci piacerebbe esprimere le sue componenti rispetto $B'$ per un motivo che in seguito sarà più chiaro.
Allora il problema è questo: dato un vettore $x$ rispetto alla vecchia base, come trovo le sue componenti rispetto alla nuova base?
Per fare questo si scrive una matrice, detta matrice del cambiamento di base, che io chiamerò $P$, ottenuta in questo modo: si mettono in colonna le componenti dei vettori della base nuova rispetto a quella vecchia.
In altre parole, il vettore $(1,1,1)$ è un vettore della nuova base, le cui componenti sono date rispetto a quella vecchia: la prima colonna della matrice $P$ sarà proprio $((1),(1),(1))$. E così via per le altre due:
$P=((1,1,0),(1,0,1),(1,-1,0))$
Adesso che abbiamo costruito $P$ la via è semplice: la relazione che lega le componenti del vettore $X$ rispetto alla vecchia base con le componenti di $X$ stesso rispetto a quella nuova è $X=PX'$.
In altre parole, voi avete $X=(1,2,0)$ rispetto alla base canonica. Dovete cercare $X'$ che rappresenta $(1,2,0)$ rispetto a $B'$. Che fate?
$X=PX'=> PX'=X =>((1,1,0),(1,0,-1),(0,1,0))X'=((1),(2),(0))$
E' un sistema lineare, tre equazioni tre incognite. Ammette sicuramente una e una sola soluzione (deve ammetterla, se no abbiamo sbagliato i conti) perchè $B'$ è una base. Lascio a voi i dettagli sui conti.
Una volta risolto il sistema, i tre numeri trovati saranno proprio le componenti di $X$ rispetto a $B'$.
Punto 3. Adesso siamo finalmente pronti per ultimare l'esercizio. Ragioniamo nella nuova base e chiediamoci: dobbiamo determinare $f^-1(a, b, c)$ dove ($a,b,c$ sono i numeri che avete trovato risolvendo il sistema). Che significa ciò?
Vuol dire cercare i vettori di $RR^3$ tipo $(x,y,z)$ tali che $f(x,y,z)=(a,b,c)$. Ma chi è $f(x,y,z)$?
Semplice: $f(x,y,z)=A((x),(y),(z))$ dove $A$ è la matrice associata a $f$.
Quindi siamo di nuovo lì: determinare $(x,y,z)$ tale che $((2,0,0),(0,-1,0),(0,0,0))((x),(y),(z))=((a),(b),(c))$
E questo è un altro sistema lineare. Risolto anche questo è fatta: abbiamo trovato il/i vettori $(x,y,z)$ (le cui componenti sono date rispetto a $B'$) la cui immagine è il vettore di partenza (espresso nella nuova base, d'accordo, ma è sempre lui).
Ci siamo?
Non rispondete di getto, per piacere. Non è immediato, probabilmente, tutto ciò, quindi vi prego di meditare a fondo e sforzarvi di capire: ovviamente, però, se ci sono problemi, non esitate a chiedere.
Grazie mille, ma è normale che non trovi nessuna controimmagine? Il sistema non è più compatibile causa ultima riga, che viene 0 = 3/2...
Non so, non ho fatto i conti. In tal caso concludi che il vettore non sta nell'immagine di $f$.
Ok grazie eh... mi piacerebbe molto avere le idee chiare come te
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