Applicazione lineare... non è banale :)
Ciao a tutti, ho 3 vettori, v1=(1,1,1); v2=(1,0,-1) e v3=(0,1,0) e ho un'applicazione lineare f : R^3----->R^3 così definita:
f(v1)=2v1, f(v2)=-v2, f(v3)=(0,0,0)
Come faccio a determinare f^-1(1,2,0)? Sarebbe l'inversa in (1,2,0) ma non ho trovato le formule
f(v1)=2v1, f(v2)=-v2, f(v3)=(0,0,0)
Come faccio a determinare f^-1(1,2,0)? Sarebbe l'inversa in (1,2,0) ma non ho trovato le formule
Risposte
Ciao.
1. Per le formule ti basta metterle tra due simboli di dollaro, così \$ "formula" \$
2. Quanto al problema, dai che non è difficile... Guarda te lo riformulo in questo modo: cerca tutti i vettori $X$ di $RR^3$ tali che $f(x)=(1,2,0)$. (rispetto alla base canonica)
Sai scrivere la matrice associata a un endomorfismo rispetto a una base? Chiamala $A$: una volta che l'hai è un giochetto... Tu stai cercando gli $X$ tali che $AX=...$ (occhio!)
P.S. Attenzione alla base usata.
1. Per le formule ti basta metterle tra due simboli di dollaro, così \$ "formula" \$
2. Quanto al problema, dai che non è difficile... Guarda te lo riformulo in questo modo: cerca tutti i vettori $X$ di $RR^3$ tali che $f(x)=(1,2,0)$. (rispetto alla base canonica)
Sai scrivere la matrice associata a un endomorfismo rispetto a una base? Chiamala $A$: una volta che l'hai è un giochetto... Tu stai cercando gli $X$ tali che $AX=...$ (occhio!)
P.S. Attenzione alla base usata.
mmm... beh la matrice A immagino si ottenga con le immagini diciamo dei vettori v1, v2, v3... cioè A = $((2,2,2),(1,0,-1),(0,1,0))$... però non ci metterei la mano sul fuoco... dopodichè devo trovare gli X tali che AX = (1,2,0)? ma ho l'impressione di fare casino
Alt!
Scusa la domanda, ma sai di che cosa stiamo parlando? Sai che cos'è un'applicazione lineare? E come si costruisce la matrice ad essa associata?
Scusa la domanda, ma sai di che cosa stiamo parlando? Sai che cos'è un'applicazione lineare? E come si costruisce la matrice ad essa associata?
Io sapevo che la matrice associata ad un'applicazione lineare si ottiene prendendo le coordinate dell'immagine di un dato vettore rispetto ad una base, tipo quella canonica
Dovrei ottenere tipo la matrice $((2,0,0),(0,-1,0),(0,0,0))$ ma non so
"Tyler Leon":
Io sapevo che la matrice associata ad un'applicazione lineare si ottiene prendendo le coordinate dell'immagine di un dato vettore rispetto ad una base, tipo quella canonica
Dunque, facciamo un po' di ordine.
Prendi un'applicazione lineare $f: V_n to W_m$ (intendendo che $"dim"V_n=n$ e $"dim"W_m=m$: sono entrambi finitamente generati).
Esiste un teorema (fondamentale) che ti dice, in sostanza: dare $f$ vuol dire dare le immagini dei vettori di una base di $V$.
In altre parole, questo potentissimo teorema ti dice che per definire $f$ (che agisce, bada bene su infiniti elementi!) ti basta definire come agisce sui vettori di una base dello spazio.
Ad esempio, prendi $RR^3$, $RR^4$; per definire un'applicazione lineare $f: RR^3 to RR^4$ ti basta dare le immagini dei vettori di una base di $RR^3$, ad esempio quella canonica. Cioè, se tu mi dici chi sono (in $RR^4$) $f(1,0,0)$, $f(0,1,0)$ e $f(0,0,1)$ io ti posso trovare l'immagine mediante $f$ di ogni vettore di $RR^3$. Ok fin qui?
Se hai capito fin qui, allora sei pronto a fare il passo successivo: la matrice associata a un'applicazione lineare si ottiene mettendo in colonna le immagini dei vettori di una base del dominio ($V$).
Mi fermo un attimo per darti modo di riflettere bene su quanto scritto: se hai capito ciò che ti ho raccontato, prova a:
1. vedere se i tre vettori che ti vengono dati ($v_1$, $v_2$, $v_3$) formano una base di $RR^3$;
2. in caso affermativo, scrivere la matrice associata a $f$ rispetto a questa base ($v_1$, $v_2$, $v_3$).
Se ci sono dubbi o problemi, sono qui.
Ok bene, allora, quei 3 vettori sono linearmente indipendenti, quindi suppongo formino una base (di autovettori?)... Una sua matrice canonica allora dovrebbe essere $((2,0,0),(0,-1,0),(0,0,0))$... ho capito bene?
"Tyler Leon":
Ok bene, allora, quei 3 vettori sono linearmente indipendenti, quindi suppongo formino una base (di autovettori?)... Una sua matrice canonica allora dovrebbe essere $((2,0,0),(0,-1,0),(0,0,0))$... ho capito bene?
Sì, bene, bravo. Non si chiama matrice "canonica", ma va be', non importa.
Allora la matrice che hai trovato è $((2,0,0),(0,-1,0),(0,0,0))$.
Se già a buon punto: adesso dovresti riuscire a esprimere il vettore $(1,2,0)$ (di cui cerchi la\le controimmagini) rispetto alla nuova base (quella di autovettori, per intenderci). Sei capace?
Non proprio, temo di fare casino...
sto seguendo anche io questo esercizio e ho problemi...
Dunque i 3 vettori sono una base di R^3? Secondo me si in quanto sono indipendenti
Per la seconda domanda non so come fare ma ho delle idee...
1) mi scrivo i vettori $ (v1),(v2),v3) $ come vettori della base canonica ossia
$ v1=e1+e2+e3
$v2=e1-e3$
$v3=e2$ ma poi che ci faccio? Niente...
Per calcolare l'immagine inversa penso basti fare Ax=b dove b è il vettore (1,2,0)...Ma non so trovare A...
Sono 4 giorni che sto sui cambiamenti di base e non riesco ancora a capirli...non so che fare e su cosa studiare...
Dunque i 3 vettori sono una base di R^3? Secondo me si in quanto sono indipendenti
Per la seconda domanda non so come fare ma ho delle idee...
1) mi scrivo i vettori $ (v1),(v2),v3) $ come vettori della base canonica ossia
$ v1=e1+e2+e3
$v2=e1-e3$
$v3=e2$ ma poi che ci faccio? Niente...
Per calcolare l'immagine inversa penso basti fare Ax=b dove b è il vettore (1,2,0)...Ma non so trovare A...
Sono 4 giorni che sto sui cambiamenti di base e non riesco ancora a capirli...non so che fare e su cosa studiare...
La tua idea in effetti l'ho avuta anch'io...arrivato a esprimerli come vettori della base canonica non so come utilizzarli...
Come avete fatto a calcolare la matrice A? Penso si chiami matrice della trasformazione...
Cioè basta vedere $f(v1), f(v2), f(v3)$ per calcolarsela? Allora i vettori $(v1) (v2) (v3)$ a che servono?
A sto punto è facile farlo basta mettere Ax=b
dove A è la matrice che hai trovato, x siccome è in R^3 sono i vettori $x1,x2,x3$ e b è il vettore colonna $(1,2,0)$
e viene
$ x1=1/2 $
$x2=-2 $
$x3=0 $
che messi in colonna sono il vettore immagine inversa
Io lo avrei fatto cosi, ma il fatto di trovare A in quel modo mi stupisce...Cioè v1,v2,v3 allora a che servono?
Cioè basta vedere $f(v1), f(v2), f(v3)$ per calcolarsela? Allora i vettori $(v1) (v2) (v3)$ a che servono?
A sto punto è facile farlo basta mettere Ax=b
dove A è la matrice che hai trovato, x siccome è in R^3 sono i vettori $x1,x2,x3$ e b è il vettore colonna $(1,2,0)$
e viene
$ x1=1/2 $
$x2=-2 $
$x3=0 $
che messi in colonna sono il vettore immagine inversa
Io lo avrei fatto cosi, ma il fatto di trovare A in quel modo mi stupisce...Cioè v1,v2,v3 allora a che servono?
No, fermi.
$A$ è la matrice associata all'endomorfismo.
Adesso, se date retta a me, quella lì non la toccate: piuttosto, scrivete le componenti del vettore $(1,2,0)$ rispetto alla nuova base.
Per fare questo è opportuno ricorrere alle equazioni del cambiamento di base $X=PX'$ dove $X$ è il vettore nella vecchia base, $X'$ in quella nuova e $P$ la matrice del cambiamento di base: quest'ultima si ottiene mettendo in colonna (di nuovo) le componenti delle nuova base rispetto a quella vecchia.
$A$ è la matrice associata all'endomorfismo.
Adesso, se date retta a me, quella lì non la toccate: piuttosto, scrivete le componenti del vettore $(1,2,0)$ rispetto alla nuova base.
Per fare questo è opportuno ricorrere alle equazioni del cambiamento di base $X=PX'$ dove $X$ è il vettore nella vecchia base, $X'$ in quella nuova e $P$ la matrice del cambiamento di base: quest'ultima si ottiene mettendo in colonna (di nuovo) le componenti delle nuova base rispetto a quella vecchia.
...scusate cancellate questo mio intervento che ho scritto dopo...
Non abbiamo trovato una sola base finora?
La formula del cambiamento di base che ho già studiato è:
$x1=(CT)x1'$ dove CT è la trasposta di C
$x1=(CT)x1'$ dove CT è la trasposta di C
"Paolo90":
Se già a buon punto: adesso dovresti riuscire a esprimere il vettore $(1,2,0)$ (di cui cerchi la\le controimmagini) rispetto alla nuova base (quella di autovettori, per intenderci). Sei capace?
Secondo me le componenti del vettore $(1,2,0)$ rispetto alla nuova base sono
$x1=1/2$
$x2=-2$
$x3=0$
Si le ho trovate anch'io ma sarà così?
ma sarà così?
penso di si...ma ora che ci facciamo? 
Tu hai qualche idea? I vettori v1, v2, v3 ancora non li abbiamo mai usati...
Tu hai qualche idea? I vettori v1, v2, v3 ancora non li abbiamo mai usati...
Se provassimo a fare $1/2$ $v1$ -2 $v3$ +0$v4$? Le provo tutte XD
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