Applicazione lineare matrice B associata ad F nel codominio

[sergio.strappazzon]

Buonasera ragazzi,
Ho un dubbio sulla soluzione di questo esercizio,

sia data l-applicazione lineare f. r3->r3 associata alla matrice
A= 1 0 2 nella base canonica.
0 1 0
0 2 -1

Si determini la matrice B associata ad F se fissiamo la base (e1, e1+e2, e3) nel codominio.

Qualcuno riesce ad aiutarmi, spiegando un po- i vari passaggi? Grazie.

Sergio

[sergio.strappazzon]

Qualcuno che mi riesce ad aiutare? E' un esercizio in preparazione dell'esame.. un aiuto è gradito.
Sergio

[Jokah]

"sergio.strappazzon":Qualcuno che mi riesce ad aiutare? E' un esercizio in preparazione dell'esame.. un aiuto è gradito.
Sergio

Devi semplicemente effettuare il cambiamento di base nello spazio "destinazione": risulta in particolare che il passaggio sia da una base canonica ad una base diversa. La matrice del cambiamento di base in arrivo è chiaramente l'inversa di quella che ottieni disponendo in colonna gli elementi della nuova base. Moltiplichi poi a sinistra la matrice associata per quella così ottenuta, giungendo a conclusione.

Poiché non devi cambiare base in partenza, è come se moltiplicassi a destra per l'inversa dell'identità che è l'identità stessa (elemento neutro del prodotto tra matrici, per cui puoi omettere).

In particolare ottieni che la matrice di cambiamento di base è:

\( \left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)\)

Quando la moltiplichi a sinistra con la matrice associata all'applicazione lineare ottieni come risultato:

\( \left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 2 & -1 \\
\end{array}\right)\)

Che è la matrice associata all'applicazione, scelta la base canonica in partenza e la base \( \{(1,0,0), (1,1,0), (0, 0, 1)\} \) in arrivo.

PS: Se non sei invece pratico col cambiamento di base come te l'ho presentato, avresti potuto scrivere l'immagine di ogni elemento della base canonica tramite la funzione come combinazione lineare degli elementi della nuova base, disponendo poi i coefficienti della combinazione lineare in colonna.

[sergio.strappazzon]

Perfetto chiarissimo, io mi ero fermato solo alla prima matrice. Ora mi torna tutto. Grazie