Applicazione lineare invertibile

[Carminep12]

Non abbiamo mai dato la definizione di applicazione lineare invertibile, ma solo di matrice inversa. Se dovessi rifarmi al concetto di funzione inversa studiato al liceo, una funzione inversa dev'essere bieettiva. In algebra lineare, dunque, un'applicazione lineare dovrebbe essere un isomorfismo. Ma a questo punto, necessariamente, per essere sia surriettiva che inniettiva, dovrebbe essere anche un operatore lineare, cioè lo spazio vettoriale di partenza e di arrivo dovrebbero PER FORZA coincidere, per poter parlare di applicazione lineare inversa. Ma non ne sono sicuro, anche perché in un esame vecchio datoci come esercitazione l'applicazione andava da R^4 in R^6, e una delle domande era di calcolare f^-1 di n-ple di R^6 precise dateci nella traccia...Non ho capito niente e gli spazi vettoriali possono avere anche dimensioni diverse o, semplicemente, in quel caso la funzione non è invertibile ed era una sorta di "domanda a trabocchetto"? Grazie in anticipo per le risposte.

[cooper1]

"Carmine12":cioè lo spazio vettoriale di partenza e di arrivo dovrebbero PER FORZA coincidere, per poter parlare di applicazione lineare inversa

la definizione è data con spazi generici, che però devono avere la stessa dimensione (essere isomorfi come hai detto).
per quanto riguarda

"Carmine12":Ma non ne sono sicuro, anche perché in un esame vecchio datoci come esercitazione l'applicazione andava da R^4 in R^6, e una delle domande era di calcolare f^-1 di n-ple di R^6 precise dateci nella traccia..

secondo me qui intendeva farvi calcolare la controimmagine dei vettori associati e non l'inversa

[Carminep12]

Molto chiaro. Probabilmente hai ragione, chiedeva semplicemente la controimmagine evidentemente. Ti chiedo dunque, è corretto indicarla con f^-1(1,5,4,4,7,6), ad esempio? Oppure è un abuso di linguaggio perché f-1 sarebbe da riferirsi soltanto a applicazioni invertibili (te lo chiedo più che altro per conoscenza personale, in maniera, nel caso, da poter utilizzare io stesso questa forma in futuro). Grazie.

[Carminep12]

Mi sono appena accorto che un'altra traccia presenta un operatore lineare F di R^4 e, in uno delle tante richieste, definisce W sottospazio vettoriale generato da F(u1), F(U2, F(u3). La richiesta è di trovare una base di F^-1(W). La base sarebbe composta dai vettori linearmente indipendenti dell'insieme {u1, u2, u3}, o sbaglio? Mi sembra troppo banale come richiesta, anche perché u1 u2 e u3 li dà direttamente la traccia all'inizio, prima delle richieste precedenti a questa.

[cooper1]

"Carmine12":Molto chiaro. Probabilmente hai ragione, chiedeva semplicemente la controimmagine evidentemente. Ti chiedo dunque, è corretto indicarla con f^-1(1,5,4,4,7,6), ad esempio? Oppure è un abuso di linguaggio perché f-1 sarebbe da riferirsi soltanto a applicazioni invertibili (te lo chiedo più che altro per conoscenza personale, in maniera, nel caso, da poter utilizzare io stesso questa forma in futuro). Grazie.

c'è sempre molta confusione con questo tipo di notazioni. comunque si in genere quando vedo scritta la controimmagine è con il simbolo $f^(-1)$.

"Carmine12":Mi sono appena accorto che un'altra traccia presenta un operatore lineare F di R^4 e, in uno delle tante richieste, definisce W sottospazio vettoriale generato da F(u1), F(U2, F(u3). La richiesta è di trovare una base di F^-1(W).

in effetti qui avendo dato un endomorfismo quella scrittura potrebbe essere l'inversa

[Carminep12]

E nel secondo caso per trovare la base è rispondere alla domanda mi basta semplicemente vedere quali vettori sono indipendenti fra u1, u2 e u3?o bisogna fare qualcosa in più Grazie per le risposte comunque .

[cooper1]

sono un po' fesso anche io in questo periodo, devi scusarmi. verosimilmente quella è ancora la controimmagine, anche perchè non ha senso calcolare la base di un'applicazione lineare. ha senso calcolare basi di (sotto)spazi vettoriale. e quindi quella deve essere la controimmagine.
mi sembra quindi che il tuo ragionamento sugli $u_i$ possa andar bene

[Carminep12]

Grazie mille.