Applicazione Lineare in C

[kika_17]

Ciao, qualcuno può aiutarmi a capire questo esercizio per favore?

$L: Mat_(2x2) (CC) -> Mat_(2x2) (CC)$ applicazione lineare t.c. $L ((x,y),(z,w)) = ((x-y, y+z),(z-w,x+w))$

Si dimostri che $L(W) sube W$ dove

$W = {((x,y),(z,w)) in Mat_(2x2) (CC) | ix+y+iz+w=0}$

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In poche parole mi sta chiedendo di dimostrare che W è un sottospazio invariante, giusto?
Come faccio ad applicare L a W? devo riscrivere W in termini di matrice?

Grazie

[ciampax]

Sì, devi esprimere in forma generale le matrici di $W$ o, equivalentemente, trovarne una base.

[kika_17]

Se non sbaglio, le matrici di $W$ sono

$((i,1),(0,0)) , ((-1,0),(1,0)) , ((i,0),(0,1))$

e dato che sono linearmente indipendenti, una base di W è formata da quelle tre matrici.

Ora come faccio a dimostrare che $L(W) sube W$ ?

[kika_17]

devo calcolare $L$ di tutte le matrici di $W$ ??

$L(W_1) = ((i-1,1),(0,i))$

$L(W_2) = ((-1,1),(1,-1))$

$L(W_3) = ((i,0),(-1,1+i))$

[ciampax]

Mah, in effetti basta calcolare in generale $L$ di una matrice generica di $W$ e vedere cosa accade. Se $A\in W$ allora $ix+y+iz+w=0$ e quindi per gli elementi di L(A) si ha
$$i(x-y)+(y+z)+i(z-w)+(x+w)=\\ ix+y+iz+w+(-iy+z-iw+x)=\\ 0-i(ix+y+iz+w)=0$$
per cui soddisfano anche essi la condizione per stare in $W$.

[kika_17]

ok, ho capito ... grazie!