Applicazione lineare di un endomorfismo
Ho quasi risolto questo problema ma il punto 3 non so se l'ho verificato esattamente, parto con il dire che a = 4, questo è il problema:
io ho impostato seguendo la regola T = A^t + A
A = $((1,0),(0,1))$ e la sua traslata A^t $((1,0),(0,1))$
ho calcolato l'Im(T) = $((2,0),(0,2))$ ed il suo ker che ha dim = 0
quindi dim Im(T) + dim Ker T = 2 che è la dimensione di T quindi in linea teorica tutto porta, andando avanti ho ridotto a scala la matrice composta da Im(T) e A1 (data dall'esercizio) e trovo che entrambe hanno dim 2 quindi sono compatibili e questa è la matrice trovata :
A(1) = $((1,0,0,3),(0,1,3,2))$
la mia domanda è la seguente: prima che io vada avanti con questa risoluzione e che la impari bene vorrei sapere se sto facendo tutto nel modo giusto e come prosegue con questa matrice A(1) la risoluzione ovvero come verifico se appartiene all'Im(T) ed al ker T?
Grazie in anticipo dell'aiuto.
io ho impostato seguendo la regola T = A^t + A
A = $((1,0),(0,1))$ e la sua traslata A^t $((1,0),(0,1))$
ho calcolato l'Im(T) = $((2,0),(0,2))$ ed il suo ker che ha dim = 0
quindi dim Im(T) + dim Ker T = 2 che è la dimensione di T quindi in linea teorica tutto porta, andando avanti ho ridotto a scala la matrice composta da Im(T) e A1 (data dall'esercizio) e trovo che entrambe hanno dim 2 quindi sono compatibili e questa è la matrice trovata :
A(1) = $((1,0,0,3),(0,1,3,2))$
la mia domanda è la seguente: prima che io vada avanti con questa risoluzione e che la impari bene vorrei sapere se sto facendo tutto nel modo giusto e come prosegue con questa matrice A(1) la risoluzione ovvero come verifico se appartiene all'Im(T) ed al ker T?
Grazie in anticipo dell'aiuto.
Risposte
Una base di $Mat_(2,2)(RR)$ com'è fatta? Non mi pare tu abbia fatto la cosa giusta
Non ho ben capito cosa hai fatto, ma comunque lo spazio su cui è definito l'endomorfismo è lo spazio delle matrici 2x2, perciò esso ha dimensione 4. Quindi la matrice associata a quest'applicazione dev'essere 4x4.
In effetti, se scrivi, le immagini dei vettori della base canonica in $M_{2,2}(\mathbb{R})$ ti rendi conto che la matrice associata è:
$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
Allora l'immagine ha dimensione 3 ed è generata dalle matrici $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
mentre il nucleo ha dimensione 1 ed è generato da $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$
In effetti, se scrivi, le immagini dei vettori della base canonica in $M_{2,2}(\mathbb{R})$ ti rendi conto che la matrice associata è:
$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
Allora l'immagine ha dimensione 3 ed è generata dalle matrici $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
mentre il nucleo ha dimensione 1 ed è generato da $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$
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